题目内容
【题目】【南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟】
已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1－，
(n＋2)cn＝－，其中n∈N*．
（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；
（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．
【答案】见解析
【解析】（1）因为{an}是公差为2的等差数列，
所以an＝a1＋2(n－1)，＝a1＋n－1，
从而(n＋2)cn＝－(a1＋n－1)＝n＋2，即cn＝1．………4分
（2）由(n＋1)bn＝an＋1－，
得n(n＋1)bn＝nan＋1－Sn，
(n＋1)(n＋2)bn＋1＝(n＋1)an＋2－Sn＋1，
两式相减，并化简得an＋2－an＋1＝(n＋2)bn＋1－nbn．………………………6分
从而(n＋2)cn＝－＝－[an＋1－(n＋1)bn]
＝＋(n＋1)bn
＝＋(n＋1)bn
＝(n＋2)(bn＋bn＋1)．
因此cn＝(bn＋bn＋1)．
因为对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，所以λ≤cn＝(bn＋bn＋1)≤λ，
故bn＝λ，cn＝λ．
所以(n＋1)λ＝an＋1－，①
(n＋2)λ＝(an＋1＋an＋2)－，②
②－①，得(an＋2－an＋1)＝λ，即an＋2－an＋1＝2λ．
故an＋1－an＝2λ(n≥2)．
又2λ＝a2－＝a2－a1，则an＋1－an＝2λ(n≥1)．
所以数列{an}是等差数列．
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