题目内容

【题目】一宇宙人在太空(万有引力可以忽略)玩垒球,辽阔的太空球场半侧存在均匀电场E,另半侧存在均匀磁场B,电场与磁场的分界面为平面,电场方向与界面垂直,磁场方向垂直纸面指向里。宇宙人位于电场一侧距界面为hP点,O点是P点至界面垂线的垂足,D点位于纸面上O点的右侧,OD与磁场B的方向垂直,,如图所示。垒球的质量为m,且带有电量

(1)宇宙人是否可能自P点以某个适当的投掷角(与界面所成的夹角)及适当的初速度投出垒球,使它经过D点,然后历经磁场一次自行回至P点?试讨论实现这一游戏,d必须满足的条件并求出相应

(2)若宇宙人从P点以初速度平行于界面投出垒球,要使垒球击中界面上的某一D点,初速度的指向和大小应如何?

【答案】1 2)见解析

【解析】

(1)(ⅰ)如图1所示,以O为原点,作一直角坐标系,使x轴与直线OD重合,y轴与直线OP重合。根据题中所给条件,若宇宙人在面内将垒球投向y轴的右侧,使垒球保持在平面内运动,则在电场区,垒球做斜抛(或平抛)运动,当垒球到达分界面上的D点时,其速度x轴夹角为。进入磁场区后,垒球沿半径为R的圆弧运动,到达界面的另一点,又从进入电场区做斜上抛运动。只要位于x轴上O点的左侧,且,垒球就能自斜抛恰好回到P点。

由于

因而

a为垒球在电场区垂直下落的加速度,得

所以

式中“+”分别对应于在P点做斜上抛与斜下抛的情况。

设垒球从P点到D点所经历的时间为,则

将②⑤式代入④式,得

解得

因③式和⑥式是实数,故必须满足条件:

①若

则由③式和⑥式可得

②若

则有

式中根式前面取“+”号对应于从P点做斜向上抛的运动,取对应于从P点做斜向下抛的运动(如图1所示)。

③当时,无论怎样选取,投出的垒球都无法按题中要求回至P点。

(ⅱ)在D并不关于O点对称的情况下,垒球亦有可能回到抛出点,此时,垒球在电场区域内的运动构成一段完整的抛物线,如图2所示。

仍将分解为,在磁场区域,由前面的解答易得

在电场区域,有

由此易知

先考虑如图2a)所示的情形,此时垒球斜向上抛,此情形下,垒球从P点运动到D点,所用时间为

解得

再考虑如图2b)所示的情形,此时垒球斜向下抛,同理可得

(2)平行于界面的初速度必须指向正x轴方向才有可能击中D点。击中D点方式有如下三种:

①从P点平抛出后经过电场区域,直接到达D点。若所经历时间为t,则由

消去t,得

②从P点向右平抛下落,然后经磁场回转,又在电场区斜上抛,如此循环,历经磁场n次,最终在电场区经斜上抛到达D点,如图3a)所示。

设自P点平抛的水平射程。垒球经磁场回转一次,在x轴方向倒退。其中

出磁场区后经电场区的斜上抛运动,垒球在x轴方向前进。如此历经n次循环,最后从电场区到达D点,应有

解得

P点抛出的初速度为,则由

消去t,得,或

③自P点向右平抛下落,再经磁场回转,然后在电场区斜上抛,如此循环,历经磁场n次,最终在磁场区回转到达D点,如图3b)所示。

设自P点平抛的水平射程为,则应有

解得

相应的初速度为,则有

以上各式中n=123

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