题目内容

【题目】[选修4-5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.

【答案】
(1)

解:当a=2时,f(x)=|2x﹣2|+2,

∵f(x)≤6,∴|2x﹣2|+2≤6,

|2x﹣2|≤4,|x﹣1|≤2,

∴﹣2≤x﹣1≤2,

解得﹣1≤x≤3,

∴不等式f(x)≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}


(2)

解:∵g(x)=|2x﹣1|,

∴f(x)+g(x)=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3,

2|x﹣ |+2|x﹣ |+a≥3,

|x﹣ |+|x﹣ |≥

当a≥3时,成立,

当a<3时, |a﹣1|≥ >0,

∴(a﹣1)2≥(3﹣a)2

解得2≤a<3,

∴a的取值范围是[2,+∞)


【解析】(1)当a=2时,由已知得|2x﹣2|+2≤6,由此能求出不等式f(x)≤6的解集.(2)由f(x)+g(x)=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3,得|x﹣ |+|x﹣ |≥ ,由此能求出a的取值范围.;本题考查含绝对值不等式的解法,考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意不等式性质的合理运用.
【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法,掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号即可以解答此题.

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