题目内容
【题目】如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，
]上有解，求a的取值范围．
【答案】(－1,1]．
【解析】
试题即求函数f(x)＝－cos2x＋sinx值域，先转化为关于sinx二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定值域，进而得到a的取值范围．
试题解析：解 方法一 设f(x)＝－cos2x＋sinx(x∈(0，
])．
显然当且仅当a属于f(x)的值域时，a＝f(x)有解．
因为f(x)＝－(1－sin2x)＋sinx
＝(sinx＋
)2－
，
且由x∈(0，]知sinx∈(0,1]．
易求得f(x)的值域为(－1,1]．
故a的取值范围是(－1,1]．
方法二 令t＝sinx，由x∈(0，]，可得t∈(0,1]．
将方程变为t2＋t－1－a＝0.
依题意，该方程在(0,1]上有解．
设f(t)＝t2＋t－1－a.
其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－，
如图所示．
因此f(t)＝0在(0,1]上有解等价于
即
所以－1<a≤1.
故a的取值范围是(－1,1]．
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