Question

【题目】在高能物理中，实验证明，在实验室参考系中，一个运动的质子与一个静止的质子相碰时，碰后可能再产生一个质子和一个反质子，即总共存在三个质子和一个反质子。试求发生这一情况时，碰前那个运动质子的能量（对实验室参考系）的最小值（即阈值）是多少？已知质子和反质子的静止质量都是。不考虑粒子间的静电作用。

Answer 1

【答案】

【解析】

在讨论本题之前，先看一下相对论能量和动量的普遍关系式，即

。 ①

式中c为光在真空中的速度，m为粒子的质量，p为其动量，为静止质量。

此关系式可由能量

和动量

导出，v为粒子的速度。

，

故。

由此关系式可知，对每一个粒子，其能量的平方与呈线性关系。下面讨论本题。

从实验室参考系来看，碰前系统的总动量等于运动的那个质子的动量，设其方向沿x轴正方向，碰撞前后系统的总动量守恒，总能量守恒。若要碰后能存在三个质子和一个反质子且总能量为最小值，则可论证这四个粒子的动量必定相等。

(1)先讨论碰后四个粒子的动量都沿x轴正方向的情况。

令、、、分别表示它们动量的大小，这四个动量中，若有任何两个不相等，如，设。若将增加（）而将减少（这时总动量不变），则有

，

.

这样一来，第一个粒子能量的平方增加了，而第二个粒子能量的平方减少了，两个粒子能量平方的净增量为

因已设内，且，所以净增量是负的，总能量将减少。这就是说，设时对应的总能量并不是最小值。由此可判断，四个粒子的动量必相等。

(2)若四个粒子中，有一个粒子其动量沿x轴的负方向，因为总动量守恒，则必有沿x轴正方向运动的另一粒子的动量增加了，因为能量的平方与呈线性关系，所以这时的总能量必然大于沿x轴正方向运动时的能量。也就是说，只要四个粒子中，有沿x轴负方向运动的，则总能量必不是最小值。

(3)若四个粒子的动量的方向不在同一直线上，这时将它们沿x轴方向和垂直于x轴方向分解，沿x轴方向总动量守恒；垂直于x轴方向的动量互相抵消，但它们却使粒子的能量增大了，也就是说，这时的能量也不是最小值。

总结以上可见，要想碰后四个粒子的总能量最小，根据总动量守恒、能量守恒及相对论能量和动量关系式可知，碰后四个粒子的动量必相等。

设碰前运动质子的动量为p，质量为m，碰后四个粒子的动量为、、和，四个粒子的质量为、、和，根据动量守恒和能量守恒，有

， ②

。 ③

由上面论述可知

。 ④

再由①式可知，碰后四个粒子的能量相等从而质量必相等。以表示碰后四个粒子中每个粒子的质量，由③式得

。 ⑤

对碰前那个运动的质子，由相对论能量和动量关系有

。 ⑥

对四个粒子中任一个粒子，由相对论能量和动量关系有

。 ⑦

由⑤⑥⑦式可得

。 ⑧

代入数据得

。 ⑨