Question

【题目】半径为r的管子里装有密度为的疏松物质。恒力F作用在轻塞上，当活塞在管里移动时，物质稠密到密度为（如图所示）。如果稠密以突变方式进行，即在管里仿佛有一个“分界面”以某一速度移动，该面右侧密度为，左侧密度为，那么活塞将以多大速度运动？设开始时“分界面”与活塞面重合。

Answer 1

【答案】

【解析】

我们将认为管子足够长，不同密度区域的界面远离圆柱管端。于是作用在管内物质的唯一水平力是力F，所以管内物质动量的变化等于这个力的冲量。

参与运动的每一部分物质以界面速度运动。用u表示这个速度，v表示活塞的速度。时间内活塞移动距离，位于体积内部分物质发生运动，并且这部分物质密度等于（密度为，其余部分物质运动速度也为u）。因为每一部分物质速度均为u，所以在时间内物质微粒具有的动量等于。根据运量定律，有

。 ①

显然，速度u与v有关系。由质量守恒条件可知，当活塞运动时在体积内物质的质量应该按体积分布，并且这里它具有密度。所以

。

由此。 ②

将②式代入①式中，得到

，。