题目内容
【题目】半径为r的管子里装有密度为的疏松物质。恒力F作用在轻塞上,当活塞在管里移动时,物质稠密到密度为(如图所示)。如果稠密以突变方式进行,即在管里仿佛有一个“分界面”以某一速度移动,该面右侧密度为,左侧密度为,那么活塞将以多大速度运动?设开始时“分界面”与活塞面重合。
【答案】
【解析】
我们将认为管子足够长,不同密度区域的界面远离圆柱管端。于是作用在管内物质的唯一水平力是力F,所以管内物质动量的变化等于这个力的冲量。
参与运动的每一部分物质以界面速度运动。用u表示这个速度,v表示活塞的速度。时间内活塞移动距离,位于体积内部分物质发生运动,并且这部分物质密度等于(密度为,其余部分物质运动速度也为u)。因为每一部分物质速度均为u,所以在时间内物质微粒具有的动量等于。根据运量定律,有
。 ①
显然,速度u与v有关系。由质量守恒条件可知,当活塞运动时在体积内物质的质量应该按体积分布,并且这里它具有密度。所以
。
由此。 ②
将②式代入①式中,得到
,。
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