Question

【题目】如图所示，在半径为的圆筒形真空管中有两个隔板，将管内分为三个区域，两隔板中央各有小孔和，两孔间距为．在左边的区域中有加速电场，在中间的区域Ⅱ中有沿管轴方向的匀强磁场，在右边的区域Ⅲ中既无电场也无磁场，区域Ⅰ中的阴极连续发射的电子经其中的电场加速后，使穿过小孔的电子形成发射束进入区域Ⅱ．设穿过小孔的这些电子的速度沿管轴方向的分量均为，设电子之间的相互作用可以忽略．当将区域Ⅱ中沿管轴方向的磁感应强度的大小调到某值时，从小孔进入区域Ⅱ的电子便能穿过小孔射出，把这些磁场的最小值记为．取从到的方向为正方向，区域Ⅱ中的磁场随时间变化的曲线如图乙所示，即从起沿正方向，每经时间反向一次，是的变化周期．从开始，电子束连续地从小孔进入区域Ⅱ，设凡遇管壁的电子均被管壁吸收．

（1）为使从小孔进入区域Ⅱ的电子能穿过小孔到达区域Ⅲ，试求磁场变化周期的最小值．

（2）若取磁场变化周期，试在图乙的时间轴上标明电子能经小孔到达区域Ⅲ的时间区间．

（3）在进入区域Ⅲ的电子束中，电子运动方向与管轴之间夹角的最大值是多少？

Answer 1

【答案】(1)(2)发射电子束能穿过到达区域Ⅲ的时间如图中时间t轴上的波纹线所示。图中(3)

【解析】

（1）由题设，经小孔进入区域Ⅱ的发散电子束速度沿管轴的分量均为，这些斜入射的电子在的作用下作等距螺旋运动，螺旋运动的周期，与速度无关，螺距为，式中是电子的质量，是电子电量绝对值．

为使这些电子都能从小孔射出（不计被管壁吸收者），要求等于的整数倍，即

，，

故磁场的大小应为，．

可见，磁场的最小值为，与此相对应，螺距刚好等于孔与孔的间距，即．

现在，设随时间按图乙变化，周期为，如果这些电子在进入区域Ⅱ后运动的时间不足，即改变方向，则电子将偏离原螺旋线，不能到达，不能进入区域Ⅲ．因此，为使这些电子能够到达并进入区域Ⅲ，磁场方向变化的周期必须满足，故的最小值．

（2）若，则从进入区域Ⅱ的斜入射电子中，在磁场方向沿正向的前一半时间内进入的那些电子可以穿过射出，但在磁场方向沿正向的后一半时间内进入的那些电子就无穿过射出了．换言之，能穿过射出的电子必须在区域Ⅱ中经历时间，而且在该时间内磁场的方向需保持不变．因此，发射电子束能穿过到达区域Ⅲ的时间如图丙中时间轴上的波纹线所示．

丙

（3）设斜入射到区域Ⅱ中的电子速度在垂直管轴方向的分量为，则在洛仑兹力作用下，电子圆轨道运动的半径为，在这些电子中只有满足的那些电子能在管内运动时不与管壁相碰，从而能到达并进入区域Ⅲ，即要求．利用，可得．

穿过进入区域Ⅲ后，这些电子做直线运动，其运动方向与管轴之间的夹角应满足，

故最大夹角为．

本题虽然将电子的运动分为三个区域，是典型的多过程的串接模型，但讨论的重点在区域Ⅱ，在这一区域中，既要讨论电子运动过点所需要的几何约束（包括沿方向上的与垂直于方向上的），同时要考虑运动的时间约束，计算的难度虽然不大，但涉及的信息量比较大，学生难免顾此失彼．

能否对复杂的运动过程进行正确分析，是鉴别一个人能力高低非常有效的方式，加强状态与过程分析的训练，是竞赛学生必须训练的基本功之一．