Question

【题目】有四种运动周期：

（1）靠近地面的卫星绕行的周期；

（2）物体穿过地球直径隧道运动中的振动周期；

（3）在场强为的均匀引力场中，摆长为地球半径为单摆的周期；

（4）在实际的地球引力场中，摆长为无限大的单摆的振动周期.

试证明上述四种周期相等（约84分钟）.

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

（1）对于靠近地面的卫星，有

，

所以，.

（2）物体在地球直径隧道中运动时，在距地心处的受力为

，式中.

显然，物体做简谐振动，考虑到，易得

.

（3）在场强为的均匀引力场中，若单摆的摆长为地球半径，摆动位移时，其回复力由摆线的拉力（大小约为）提供，则回复力的大小为

.

同样可得.

（4）在实际的地球引力场中，摆长为无限大的单摆，在摆动时，其回复力由指向地心的引力提供，可得回复力的大小为

，所以，.

可见，上述四种情况下的运动周期同为，代入数据可得.

本题中给出的四种背景下的运动周期一样，看似巧合，实为内洽.

另外，本题所给出的四种基本模型也是极具代表性的，它们从多个角度引导我们求解振动物体的回复力，其方法都具有相应的代表性，都有可能出现在其他的综合问题中，必须认真分析，熟练运用.