题目内容
【题目】一近视患者不戴眼镜时，只能看清距眼睛
以内的物体。他发现，如果在眼前靠近眼睛处放一带小圆孔的卡片，通过小圆孔不戴眼镜看远处物体时也能清晰些。
(1)若小圆孔的直径为D，试根据几何光学的原理，求出当近视患者直视远处的一个物点时，在眼睛的视网膜上产生的光斑的直径。（提示：可将眼睛简化成一个焦距，可调的薄透镜和一个可成像的视网膜，透镜两侧的介质均为空气，视网膜与透镜的距离为b。）
(2)再考虑小孔的衍射效应，求小圆孔直径最恰当的大小。
【答案】(1) 
(2) 
【解析】
眼睛和眼镜都是几何光学成像元件，都是通过透镜的折射成像的。对于题中的近视患者，其眼镜的远点是20cm。
通过小孔，不戴眼镜也能看清远处的物体，是由于小孔限制了进入眼镜的物光束的张角，从而每个物点在视网膜上成一个发散较小的像斑，其光斑越小，感觉的像就越清晰，图示为近视眼观察物体在有小孔与无小孔时成像的像斑大小的比较。
(1)当物点较远，其入射光束近似为平行光束。小孔对眼睛晶状体焦点的张角为
，其中
为看远处物体时眼睛的焦距，即眼睛的最大焦距。视网膜到眼睛晶状体的距离为b，从图中可看出，一个物点在眼睛的焦点处可会聚成一个像点，但到视网膜上则散成一个像斑，像斑的直径为
。
近视是因为眼轴的长度大于眼睛的最大焦距。当远点的物刚好能够在视网膜上成像时，根据成像公式
，可得
代入像斑大小的公式，得到
该像斑对小孔的张角是
。
(2)考虑小孔的衍射，远处物点经小孔所成的艾里斑对小孔的张角为
，在眼睛焦平面上的艾里斑和在视网膜上的艾里斑对小孔的张角是一样的，因而，确定出最适合孔径的条件是
即可得到
。
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口算题卡北京妇女儿童出版社系列答案
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