Question

【题目】（1）已知：x∈（0+∞），求证： ；

Answer 1

【答案】证明：不妨令 ，则t∈（0+∞）， = ，

设 ，则f′（t）= ﹣ = ＞0，

∴f（t）在（0，+∞）上单调递增，∴f（t）＞f（0）=0，

∴ ．

即： ．（2）已知：n∈N且n≥2，求证： ．

解：方法一：由（1）知 ，即 ，

∴ln2＞ ，ln ＞ ，ln ＞ ，，ln ＞ ，

以上各式相加得： ，

即得： ．

方法二：当n=2时， ，即左边＞右边，命题成立；

②假设当n=k（k≥2）时，命题成立，

即 成立，

当n=k+1时

右边=

由（1）知：令x=k，有 ，即

因此有：左边=

故，左边＞右边，

即，当n=k+1时，命题成立．

综上①②，当n∈N且n≥2， 成立．

【解析】（1）设 ，令f（t）=ln（t+1）﹣ ，判断f（t）在（0，+∞）上的单调性，得出f（t）的值域从而得出结论；（2）把x=1，2，3，，n﹣1代入（1）的结论，各式相加即可得出结论．