题目内容

【题目】如图,某城市有一块半径为40的半圆形(以为圆心, 为直径)绿化区域,现计划对其进行改建,在的延长线上取点,使,在半圆上选定一点,改建后的绿化区域由扇形区域和三角形区域组成,其面积为,设

1)写出关于的函数关系式,并指出的取值范围;

2)试问多大时,改建后的绿化区域面积最大.

【答案】1S1600sinx800x0xπ;(2)当AOC时,改建后的绿化区域面积S最大.

【解析】试题分析:(1)求出扇形区域AOC、三角形区域COD的面积,即可求出S关于x的函数关系式Sx),并指出x的取值范围;(2)求导数,确定函数的单调性,即可得出结论

试题解析:(1)因为扇形 AOC的半径为 40 m∠AOCx rad

所以 扇形AOC的面积S扇形AOC800x0xπ………………… 2

△COD中,OD80OC40∠CODπx

所以COD 的面积SCOD·OC·OD·sinCOD1600sin(πx)1600sinx……………… 4

从而 SSCODS扇形AOC1600sinx800x0xπ………… 6

2)由(1)知,S(x)1600sinx800x0xπ

S′(x)1600cosx8001600(cosx)………… 8

S′(x)0,解得x

从而当0x时,S′(x)0;当xπ时, S′(x)0

因此 S(x)在区间(0)上单调递增;在区间(π)上单调递减. ……………… 11

所以 当xS(x)取得最大值.

答:当AOC时,改建后的绿化区域面积S最大. ……………… 14

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