题目内容
【题目】如图,某城市有一块半径为40的半圆形(以为圆心, 为直径)绿化区域,现计划对其进行改建,在的延长线上取点,使,在半圆上选定一点,改建后的绿化区域由扇形区域和三角形区域组成,其面积为,设
(1)写出关于的函数关系式,并指出的取值范围;
(2)试问多大时,改建后的绿化区域面积最大.
【答案】(1)S=1600sinx+800x,0<x<π;(2)当∠AOC为时,改建后的绿化区域面积S最大.
【解析】试题分析:(1)求出扇形区域AOC、三角形区域COD的面积,即可求出S关于x的函数关系式S(x),并指出x的取值范围;(2)求导数,确定函数的单调性,即可得出结论
试题解析:(1)因为扇形 AOC的半径为 40 m,∠AOC=x rad,
所以 扇形AOC的面积S扇形AOC==800x,0<x<π. ………………… 2分
在△COD中,OD=80,OC=40,∠COD=π-x,
所以△COD 的面积S△COD=·OC·OD·sin∠COD=1600sin(π-x)=1600sinx.……………… 4分
从而 S=S△COD+S扇形AOC=1600sinx+800x,0<x<π. ………… 6分
(2)由(1)知,S(x)=1600sinx+800x,0<x<π.
S′(x)=1600cosx+800=1600(cosx+). ………… 8分
由 S′(x)=0,解得x=.
从而当0<x<时,S′(x)>0;当<x<π时, S′(x)<0 .
因此 S(x)在区间(0, )上单调递增;在区间(,π)上单调递减. ……………… 11分
所以 当x=,S(x)取得最大值.
答:当∠AOC为时,改建后的绿化区域面积S最大. ……………… 14分
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