Question

【题目】如图所示，和为两个共轴的薄凸透镜，为其主轴，的焦距，口径（直径）为，的焦距，口径（直径）为。两镜相距。AB为一与透镜共轴的直径为的均匀发光圆盘，它有清晰的边缘，把它放在左侧20cm处，它在右侧垂直于的光屏Ρ上成像。

（1）求光屏应放在何处。

（2）现发现光屏上的像的中间部分较亮，边缘部分较暗。为了使像的边缘部分也能和中间部分一样亮，但又不改变像的位置和大小，可以在上插放一个共轴的薄凸透镜。问：应放在何处？口径（直径）至少要多大？焦距应是多少？

Answer 1

【答案】(1)光屏应放在右侧10cm处(2) 应放在右侧20cm处；的口径（直径）应等于或大于2.0cm， (3)

【解析】

（1）发光圆盘AB经折射后成像在焦右侧，根据物距、像距与焦距的关系，有

由，，求得像距。像的直径为

通过成像在光屏Ρ上，根据物距、像距与焦距的关系，有

。

由，，求得像距。所以光屏应放在右侧10cm处。

（2）原来光学系统的物像关系如图（a）所示。如果要插放一凸透镜而保持像的位置和大小都不变，则此透镜必须放在中间像处，这样对来说，物距等于零，像距也等于零，即的位置和大小都不因光束通过而改变。的口径（直径）只要等于或大于，则射至的全部光束就都能通过。所以的口径（直径）应等于或大于2.0cm，像的明暗程度由投射到光屏上像点的光束大小决定。用作图法可知，由圆盘中心发出、通过的光束正好能全部进入，而从边缘部分发出，通过的光束只有一部分进入，如图（b）所示。因而像的边缘部分较中心部分暗，的作用在于使边缘部分光束通过后向主轴偏折，使之能进入，即可达到像各部分明暗均匀的效果。

如果和相对处于共轭位置，而且透镜经过后所成的像的大小恰好等于的口径，即正好是的像，则由处射出的所有光线都将到达上相应的位置，即全部能通过，像就会明暗均匀。从以上的观点考虑，可算出的焦距如下：，

由；

解得

的像的直径，正好等于的直径，符合要求。