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【题目】【选修4﹣1几何证明选讲】
如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAE=DCAF,B、E、F、C四点共圆.
(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;
(2)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
【答案】
(1)证明:∵CD为△ABC外接圆的切线,∴∠DCB=∠A,
∵BCAE=DCAF,∴ .
∴△CDB∽△AEF,∴∠CBD=∠AFE.
∵B、E、F、C四点共圆,∴∠CFE=∠DBC,∴∠CFE=∠AFE=90°.
∴∠CBA=90°,∴CA是△ABC外接圆的直径
(2)解:连接CE,∵∠CBE=90°,
∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,得CE=DC,
又BC2=DBBA=2DB2,
∴CA2=4DB2+BC2=6DB2.
而DC2=DBDA=3DB2,
故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值= =
【解析】(1)已知CD为△ABC外接圆的切线,利用弦切角定理可得∠DCB=∠A,及BCAE=DCAF,可知△CDB∽△AEF,于是∠CBD=∠AFE.
利用B、E、F、C四点共圆,可得∠CFE=∠DBC,进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径;(2)要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.只需求出其外接圆的直径的平方之比即可.由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE,及DB=BE,可得CE=DC,利用切割线定理可得DC2=DBDA,CA2=CB2+BA2 , 都用DB表示即可.
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