题目内容
【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|+|2x﹣1|(a∈R).
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)≤2的解集;
(Ⅱ)若f(x)≤|2x+1|的解集包含集合[ ,1],求实数a的取值范围.
【答案】解:( I)当a=1时,f(x)=|x﹣1|+|2x﹣1|,f(x)≤2|x﹣1|+|2x﹣1|≤2,
上述不等式可化为 或 或
解得 或 或
∴ 或 或 ,
∴原不等式的解集为 .
( II)∵f(x)≤|2x+1|的解集包含 ,
∴当 时,不等式f(x)≤|2x+1|恒成立,
即|x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|在 上恒成立,
∴|x﹣a|+2x﹣1≤2x+1,
即|x﹣a|≤2,∴﹣2≤x﹣a≤2,
∴x﹣2≤a≤x+2在 上恒成立,
∴(x﹣2)max≤a≤(x+2)min,∴ ,
所以实数a的取值范围是 .
【解析】(1)当a=1时,进行零点分段讨论,求出不等式的解集,(2)当f(x)≤|2x+1|的解集包含 [ , 1 ] ,即f(x)≤|2x+1|恒成立,根据绝对值不等式可解得a的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点,需要掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题.
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