Question

【题目】已知函数f（x）=|ax﹣b|+|x+c|．
（1）当a=c=3，b=1时，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若a=1，c＞0，b＞0，f（x）min=1，求 + 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当 a=c=3，b=1 时，f（ x）=|3x﹣1|+|x+3|，∴不 等 式 f（ x）≥4，可 化 为|3x﹣1|+|x+3|≥4，

即 ①，或 ②，或 ③；

解①求得x≤﹣3；解②求得x∈；解③求得x≥ ．

综上可得，不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤﹣3，或x≥ }．

（2）解：当 a=1，c＞0，b＞0 时，f（ x）=|x﹣b|+|x+c|≥|x﹣b﹣（ x+c）|=|b+c|=b+c，

又 f（x）min=1，∴b+c=1，∴ + = + =2+ + ≥2+2 =4，当且仅当b=c时，取等号，

故 + 的 最 小 值 为 4．

【解析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的解析式，再根据 f（x）min=1，求得b+c=1，再利用基本不等式求得故 + 的 最 小 值．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．