Question

【题目】有两把齿距不同的梳子，其中一把每厘米有4个齿，另一把每厘米有5个齿。如图所示，今将它们重叠起来，再透过其齿间的缝隙去看亮光，则可以看到亮段和暗段交替出现。如果把其中的一把梳子以的速度移动，问：亮的部位将以多大的速度移动？

Answer 1

【答案】当白色梳子不动，此时亮段移动速度方向是向右的，即亮段移动速度方向与移动的梳子（黑梳子）的移动速度方向是相同的。当黑色梳子不动，此时亮段移动速度方向是向左的，即亮段移动速度方向与移动的梳子（白梳子）的移动速度方向是相反的。

【解析】

如图所示,我们以黑、白两色的梳子表示题述的两梳子,它们重叠在一起,其中白色梳子每厘米有4个齿,黑色梳子每厘米有5个齿.图中A处两梳子的齿刚好重叠在一起显然,两梳子的齿重叠后,在A处附近透光的间隙较多.透过它去看亮光,这里就是一个“亮段”的中心,而图中B处两梳子的齿相互错开的距离最大,这里能透光的间隙就最小,故此处是一个“暗段”的中心,当两梳子间有相对运动时,这些亮段和暗段会随之移动.明显可以看到,当发生移动时,亮段和暗段的移动速度是相同的.以下我们仅讨论亮段的移动速度。

(1)当白色梳子不动,黑色梳子以速度向右移动时,设原来黑、白两梳子的对应两齿刚好在A处重叠,则由于黑色梳子的移动,接着发生的便是紧邻A处右侧的那个黑色梳齿和白色梳齿重叠,这相当于上述亮段的中心由A处移至A右侧第一个白色梳齿处,由此,这段移动的距离为白色梳子的齿距,即

.

这一过程中黑色梳子移动的距离为黑、白两梳子的齿距之差,即

以表示此时亮段移动的速度,有,

所以,.

从叙述中还可以看到,此时亮段移动速度方向是向右的,即亮段移动速度方向与移动的梳子(黑梳子)的移动速度方向是相同的.

(2)当黑色梳子不动而白色梳子以速度向右运动时,同样设原来黑、白两梳子对应的两齿刚好在A处重叠,则由于白梳子的移动,接着发生的便是紧邻A处左侧的那个黑色梳齿和白色梳齿相重叠.这相当于上述亮段的中心由A处移至A左侧第一个黑色梳齿处,这一过程中亮段移动的距离为黑色梳子的齿距,即.

这一过程中白色梳子移动的距离为黑、白两梳子的齿距之差,即。

以表示此时亮段移动的速度,有

，

所以,.

从叙述中还可以看到,此时亮段移动速度方向是向左的,即亮段移动速度方向与移动梳子(白梳子)的移动速度方向是相反的。

对本题,有人认为亮段移动的速度应该等于梳子移动的速度,这是因为对亮段和暗段如何形成没有作具体分析而想当然的想法,正确的思路应该是由亮段的形成机理出发来理解亮段的移动,这里值得注意的不仅是亮段移动速度的大小与梳子移动速度的大小不等,而且这两个速度的方向也可能不同。

与本题描述的情景十分相似的例子是游标卡尺的使用,当移动游标卡尺的游标尺(设其主尺不动)时,游标尺上的刻度线和主尺上的刻度线互相正对的位置也随之移动,这个两尺上刻度线正对的位置就相当于本题中的亮段中心或暗段中心,其移动速度与游标尺的移动速度也是不同的。