Question

【题目】已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．
（Ⅰ）求a+b的值；
（Ⅱ）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，

∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|≥|（x﹣a）﹣（x+b）|=|﹣a﹣b|=|a+b|=a+b，

∴f（x）min=a+b．

由题设条件知f（x）min=2，

∴a+b=2．…5分

证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2 ≤a+b=2，∴ab≤1．

假设a2+a＞2与b2+b＞2同时成立，

则由a2+a＞2及a＞0，得a＞1．

同理b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾．

故a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．…

【解析】（Ⅰ）利用绝对值不等式得到函数f(x)的最小值，从而解决问题
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论以及基本不等式得出ab≤1，最后用反证法得证