Question

【题目】一个原长为L、弹性系数为k的轻软弹簧一端悬挂在转轴上，另一端连接一个质量为m的球体．弹簧自水平、自然伸长状态释放，如图甲所示．当弹簧达到竖直位置时，弹簧的长度是多少？（软弹簧意味着，因此弹簧内部的张力始终直接正比于其伸长量）

Answer 1

【答案】

【解析】

由于弹簧很软，初始时球体实际上做自由落体运动。弹簧的长度很快变为原长度的数倍（原长度在后续运动中可以忽略不计）．在这样的近似下，球体在水平和竖直两个方向上均做简谐振动．由于小球刚刚释放时初速度为0，它到达悬挂点正下方时水平振动刚好经过周期．同时，竖直方向的运动也相应地完成周期，到达悬挂点正下方的平衡位置，距离远远大于弹簧的原长度为．

小球的运动也可以用方程来定量描述，在如图乙所示的坐标系中，小球在点处的运动方程为

在小球运动的初期，弹簧的伸长量与原长度L相比很小，弹簧的弹力可忽略不计．另一方面，当时，弹簧的原长可以忽略，小球的运动方程可以简化为

和．

这两个方程描述的周期相同的简谐振动，平衡位置分别为x方向的原点和y方向坐标为的位置．考虑振动的初始条件，有

，

小球位于悬挂点正下方时，，，与前面的结论是一致的．

当然，小球最终还可以到达的位置。