Question

【题目】体温计横截面如图所示，已知细水银柱顶端离圆柱面顶点的距离为2R，R为该圆柱面半径，C为圆柱面中心轴位置.玻璃的折射率，E代表人眼，求图示横截面上人眼所见水银柱像的位置、虚实、正倒和放大倍数.

Answer 1

【答案】像在体温计外表后4R处，正立，虚像，放大倍数为3。

【解析】

先考虑主轴上物点发出的两条光线，其一沿主轴方向入射界面，无偏折地出射，进入人眼.其二沿方向以入射角斜入射界面点，折射角为.折射光线要能进入人眼，点应非常靠近点，或者入射角和折射角应很小。若角度以弧度量度，在小角（近轴）近似下，折射定律可写为.这两条光线反向延长，在主轴上相交于，即为物之虚像点（如图所示）.

对用正弦定律，得

.

在小角（近轴）近似下，有

，.

上式可写为，

解上式得.

为了分析成像倒立和放大情况，将水银柱看成有一定高度的垂轴小物体，既然是一对共轭点，只要选从发出的任一条光线经界面折射后，反向延长线与过点垂轴线相交于，是物点的虚像点，即是物的正立虚像.选从点发出过圆柱面轴心的光线.该光线对界面来说是正入射（入射角为零），无偏折地出射，反向延长线交过垂轴线于，从得放大率为.

本题是单球面折射成像问题，此类问题虽然有现成的成像公式，但本题的解答仍然给出了详细的推导，而这是大家必须熟练掌握的近轴成像的处理方法，希望读者能认真地对待此类问题，能熟练地推导各类近轴光线的成像规律.