题目内容

【题目】选修4-1:集合证明选讲
如图,在正方形ABCD , E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG , 过D点作DFCE , 垂足为F.

(1)证明:B,C,E,F四点共圆;
(2)若AB=1,EDA的中点,求四边形BCGF的面积.

【答案】
(1)

证明:∵DF⊥CE,

∴Rt△DFC∽Rt△EDC,

∵DE=DG,CD=BC,

又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF,

∴△GDF∽△BCF,

∴∠CFB=∠DFG,

∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°,

∴∠GFB+∠GCB=180°,

∴B,C,G,F四点共圆.


(2)

EAD中点,

∴在 中,

连接


【解析】(1)证明B,C,G,F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补,由已知条件可知∠BCD=90°,因此问题可转化为证明∠GFB=90°;(2)在Rt△DFC中,GF= CD=GC,因此可得△GFB≌△GCB,则S四边形BCGF=2SBCG , 据此解答

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