Question

【题目】（1）在经典的氢原子模型中，电子围绕原子核做圆周运动，电子的向心力来自于核电场的作用. 可是，经典的电磁理论表明，电子做加速运动会发射电磁波，其发射功率可表示为（拉莫尔公式）：，其中为电子的加速度，为真空光速，，电子电荷量绝对值. 若不考虑相对论效应，试估计在经典模型中氢原子的寿命.（实验测得氢原子的结合能是，电子的静止质量）

（2）带电粒子加速后发射的电磁波也有重要的应用价值. 当代科学研究中应用广泛的同步辐射即是由以接近光速运动的电子在磁场中做曲线运动改变运动方向时所产生的电磁辐射. 电子存储环是同步辐射光源装置的核心，存储环中的电子束团通过偏转磁铁等装置产生高性能的同步辐射光. 上海光源是近年来建成的第三代同步辐射光源，它的部分工作参数如下：环内电子能量，电子束电流强度，周长，单元数（装有偏转磁铁的弯道数量），偏转磁铁磁场的磁感应强度.试计算该设备平均每个光口的辐射总功率.（在电子接近光速时，若动量不变，牛顿第二定律仍然成立，但拉莫尔公式不再适用，相应的公式变化为，其中，为电子总能量，为电子的静止能量）

（3）由于存储环内电子的速度接近光速，所以同步辐射是一个沿电子轨道的切线方向的光锥，光锥的半顶角为，由此可见电子的能量越高，方向性越好. 试计算：上述设备在辐射方向上某点接收到的单个电子产生的辐射持续时间.（本题结果均请以三位有效数字表示）

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）。

【解析】

（1）经典的氢原子模型中，电子围绕原子核做圆周运动，有下列关系式存在：，，.

电子的总能量为.

由此可推得电子的总能量为.

由条件推导出氢原子的轨道半径和运动速度分别为，.

由拉莫尔公式得初始发射功率为.

在微小的时间间隔中，辐射使电子的总能量减少，，

其中为电子轨道半径的减少量. 由此可导出时间和半径的变化方程：，其中.

构造一个半径为的球体，则即为距离球心为的薄球壳的体积，在到0的求和过程中可以算出球的体积为. 对应本题情况解出电子轨道从减少到0所需的时间为.

代入数据，得：.

（2）对于高能电子，可认为电子运动的速度接近光速，即有如下各式：，，，，.

以上条件可以得出电子的偏转半径：.

储存环中的电子数量：，其中为电子旋转一圈所花费的时间.

由上述式子及辐射条件可得每个电子每圈损失的总能量为（电子在直道上不辐射能量）：

.

由此得到存储环中电子消耗的总功率为.

每个光口的功率为.

（3）在电子轨道上某点的切线方向上的某一点处观察，观察者只能在一个很短时间间隔内看到电子发出的辐射，这段时间是电子的速度方向改变圆锥顶角（即）的角度所对应的光到达接收位置的时间间隔.

如图所示，在这段时间内电子移动的距离为.

令，则电子在这两点发出的辐射时间间隔为.

但在轨道的切线方向上观察，上述时间还要扣除点发射出的光到达点位置所花费的时间，

则.又，

结合可得，代入式得到.

代入数据得：.

本题是第26届全国中学学生物理竞赛决赛试题. 本题涉及的知识点很多，信息量比较大，结合程度也很高.

问题（1）再现了人类认识原子结构在某个特定的历史时期的局限，氢原子的寿命如此之短，让大众认识到理论与模型上的缺陷，进而也催生了玻尔的原子理论.问题（2）与问题（3）一方面考查了答题者对信息的处理与应用的能力，另一方面也考查了答题者综合运用相对论知识的情况，设计相对论的时空效应、相对论能量等知识内容.另外，解答过程中关于的运算也是应引起大家注意的，阅读时不要一晃而过，先试一试，便知这一运算并不容易，更不要产生这是“凑”答案的思维，从而忽视了科学的严谨性.