Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；
（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）．

∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，

由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则 =1，解得：k=﹣ ，

又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣ x+3，

即x=0或12x+5y﹣15=0；

（2）解：设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，

∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，

又∵点M在圆C上，

∴圆C与圆D的关系为相交或相切，

∴1≤|CD|≤3，其中|CD|= ，

∴1≤ ≤3，

解得：0≤a≤ ．直线

【解析】1、根据题意可得a=1，求出圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=1。分情况讨论，直线斜率存在或不存在，利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径可求出两条直线的方程。
2、由题意可得点M的轨迹是圆，再利用圆与圆的关系为相交或相切，可得到1≤|CD|≤3，求出|CD|的表达式，代入解得。