Question

【题目】如图甲所示，一物体从地球表面发射，初速度大小为（式中为第一宇宙速度），初速度方向与竖直方向成角。其中。地球视为质量均匀分布的球体，忽略空气阻力和地球自转的影响.请解答以下问题：

(1)意味着什么？

(2)物体运动过程中有哪些物理量守恒？

(3)求物体能到达的最大高度，并讨论和两种特殊情况。

Answer 1

【答案】(1)由题意知。这意味着物体发射的初速度小于第二宇宙速度，物体不能脱离地球引力的束缚，只能绕地球运动。

(2)引力场是有心力场，物体在地球引力作用下的运动是平面运动。如果不考虑空气阻力，物体在运动过程中机械能及角动量均守恒。

(3) .当和两种特殊情况见解析。

【解析】

(1)设物体的质量为m，地球的质量为M，地球半径为R。物体从地球表面发射，成为绕地球运行的人造地球卫星，所需的最小发射速度即为第一宇宙速度。

由万有引力定律及牛顿运动定律，有

， ①

解得

.

物体脱离地球引力的束缚，成为环绕太阳运动的一颗人造行星，物体的最小发射速度即为第二宇宙速度。

由机械能守恒定律，有

，

解得.

由题意知。这意味着物体发射的初速度小于第二宇宙速度，物体不能脱离地球引力的束缚，只能绕地球运动。

(2)引力场是有心力场，物体在地球引力作用下的运动是平面运动。如果不考虑空气阻力，物体在运动过程中机械能及角动量均守恒。

(3)设物体运动离地面的最大高度为H，在该处速度为。

由机械能守恒定律，有

③

由角动量守恒定律，有

. ④

联立①③④方程，得

.

解关于的一元二次方程，得

. ⑤

⑤即为物体达到最大高度表达式。

讨论：

I.当发射角度，⑤式简化为

，

解得（舍去），.

关于结果作两点讨论：

i.如果，则根据（g为地球表面的重力加速度）及，

解得.

这是我们所熟知的物体竖直上抛运动的结果。

ii.如果，则.

Ⅱ.当发射角度时，⑤式简化为

平抛.

解得.

此解的物理意义分析如下：

i.当时，，表明物体无法抛离地面或物体绕地球表面做匀速圆周运动。

ii.当时，物体绕地球眼椭圆轨道运动，，对应物体在近地点；，对应物体在远地点。

因此，，即为物体在角度时所能达到的最大高度。

当角度时，物体运动所能达到的最大高度还有另一种解法：

如图乙所示，设物体在远地点的曲率半径为。该处速度为。有万有引力定律及牛顿运动定律，有

.

物体眼椭圆轨道运动，半长轴及半短轴的长度记为，则由数学知识有

.

联立以上各式及方程④解得

.

本题(3)问，亦可以在极坐标系中建立方程求解。

将物体的发射速度沿径向和角向分解，写成

， ⑦

或

⑧

物体达到最大高度H时，径向速度，角向速度为，由机械能守恒定律及角动量守恒定律有

， ⑨

. ⑩

联立⑦⑨⑩式解得

.

Ⅰ.当发射角度时，.所得结果同上。

Ⅱ.当发射角度时，.所得结果同上。