题目内容

如图,抛物线与x轴交于A,B两点,点B坐标为(3,0)顶点P的坐标为(1,-4),以AB为直径作圆,圆心为D,过P向右侧作⊙D的切线,切点为C.

【小题1】求抛物线的解析式
【小题2】请通过计算判断抛物线是否经过点C;
【小题3】设M,N 分别为x轴,y轴上的两个动点,当四边形PNMC的周长最小时,请直接写出M,N两点的坐标.

【小题1】设抛物线的解析式为 把h=1,k=-4,x=3,y=0带入,解得a=1……1分  ∴抛物线的解析式为: 即:……2分
【小题2】作抛物线的对称轴    把y=0代入   解得 x1=-1,x2=3
∴A 点坐标为(-1,0) ∴AB=|3-(-1)|=4  ∴OD=2-1=1 ∴D点坐标为(1,0)……1分
而抛物线的对称轴为直线x=1   ∴点D在直线x=1上
过点C作CE⊥PD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F,连结DC  
∵PC是⊙D的切线  ∴PC⊥DC
在Rt△PCD中   ∵cos∠PDC==   ∴∠PDC=60°∴DE=1,CE=
∴C点坐标为(,-1)……2分
把x=带入得:y="-1" ……1分  ∴点C在抛物线上……1分
【小题3】N(0,),N(,0)……4分(每个2分)解析:
(1)把有关数据代入函数解析式,待定系数法即可求得抛物线解析式。
(2)根据三角函数计算出点C坐标为(,-1),代入已求出的解析式,即可判断点是否在抛物线上。
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