题目内容

一圆筒形容器内装有水，竖直放置在水平桌面上，筒内底面积为100厘米²．弹簧测力计的秤钩上挂一金属块，手提弹簧测力计让金属块 $数学公式$ 的体积浸入水中静止时，弹簧测力计的示数是6牛顿，此时水深为11.5厘米，如图甲所示；当把金属块没入水中静止时，弹簧测力计的示数是5.5牛顿，如图乙所示．求：
（1）金属块的密度是多少？
（2）当金属块没入水中时，水对容器底的压强是多少？
（3）容器内水的质量是多少？

解：
（1）设金属块的密度为ρ，体积为V
金属块 $\text{[math]}$ 的体积浸入水中静止时
6=ρgV- $\text{[math]}$ ρ_水gV ①
金属块没入水中静止时
5.5=ρgV-ρ_水gV ②
①-②得
0.5= $\text{[math]}$ ρ_水gV
解得V=2.5×10^-4m³ ③
将③代入①，解得
ρ=3.2×10³kg/m³；
（2）金属块完全浸没时排开水的体积增加了
V₀= $\text{[math]}$ ×2.5×10^-4m³=0.5×10^-4m³
水的深度增加了
h₀= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =0.5×10^-2m
金属块完全浸没时水的深度为
h=h₁+h₀=11.5×10^-2m+0.5×10^-2m=12×10^-2m
容器底受到水的压强为
P=ρgh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×12×10^-2m=1.2×10³Pa；
（3）金属块浸没是水和金属块的总体积为
V=Sh=1×10^-2m2×12×10^-2m=12×10^-4m³所以水的体积为
V_水=V-V_金=12×10^-4m³-2.5×10^-4m³=9.5×10^-4m³水的质量为
m=ρV_水=1.0×10³kg/m³×9.5×10^-4m=0.95kg
答：
（1）金属块的密度为3.2×10³kg/m³；
（2）当金属块没入水中时，水对容器底的压强是1.2×10³Pa；
（3）容器中水的质量为0.95kg．
分析：在甲乙两图中，金属块都受到三个力的作用：竖直向下的重力、竖直向上的浮力和拉力．
（1）金属块的重力用G=ρgV计算，受到的浮力用F_浮=ρ_液gV_排计算；前后两种情况下三个力的合力为零，由此得到等量关系方程，先求出金属块的体积V，最后将体积值代入方程就能得出金属块的密度．
（2）金属块完全浸没时排开水的体积比 $\text{[math]}$ 的体积浸入水中增加了 $\text{[math]}$ ，已知容器底面积，利用h= $\text{[math]}$ 可以得到增加的水深；原来的深度与增加的深度就是金属块浸没时水的深度，最后利用P=ρgh计算容器底受到的压强．
（3）已知金属块完全浸没时水的深度和容器的底面积，可以得到水和金属块的总体积；由总体积和金属块的体积可以得出水的体积；最后利用m=ρV就能得出水的质量．
点评：物体在水中受到三个力的作用：重力、浮力和拉力，重力用G=ρgV计算，浮力用F_浮=ρ_液gV_排分析．