Question

如图所示OB为粗细均匀的均质杠杆，O为支点，在离O点距离为a的A处挂一个质量为M的物体，杠杆每单位长度的质量为m，当杠杆为多长时，可以在B点用最小的作用力F维持杠杆平衡？（　　）

• A．

  2Ma/m

• B．

  Ma/m

• C．2Ma/m
• D．无限长

Answer 1

分析：解答本题需要根据杠杆平衡条件F₁L₁=F₂L₂去分析计算：
本题中动力为F，动力臂为OB，而阻力有两个（一个是重物Mg，另一个是杠杆本身的重力），所以阻力臂也有两个（重物G的力臂是OA，杠杆重力的力臂是

1

2

OB），明确了动力、动力臂、阻力和阻力臂之后，我们就可以根据杠杆平衡条件列出一个方程，然后根据数学方面的知识求解方程．

解答：解：（1）由题意可知，杠杆的动力为F，动力臂为OB，阻力分别是重物G_物和杠杆的重力G_杠杆，阻力臂分别是OA和

1

2

OB，重物的重力G_物=Mg
杠杆的重力G_杠杆=mg×OB，
由杠杆平衡条件F₁L₁=F₂L₂可得：
F?OB=G_物?OA+G_杠杆?

1

2

OB，
（2）代入相关数据：
则F?OB=Mg?a+mg?OB?

1

2

OB，
得：F?OB=Mga+

1

2

mg?（OB）²，
移项得：

1

2

mg?（OB）²-F?OB+Mga=0，
∵杠杆的长度OB是确定的，只有一个，所以该方程只能取一个解，
∴该方程根的判别式b²-4ac等于0，因为当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，即有一个解，
即：则F²-4×

1

2

mg×Mga=0，
则F²=2mMg²a，
得F=

2mMa

?g，
（3）将F=

2mMa

?g代入方程

1

2

mg?（OB）²-F?OB+Mga=0，
解得OB=

2Ma m

．
故选A．

点评：本题是一道跨学科题，需要学生掌握物理的杠杆知识和数学的一元二次方程的相关知识，题中学生容易出错的地方有三个：①对于杠杆重力的确定；②对于阻力及阻力臂的确定；③对于根的判别式的确定．