题目内容
如图所示，一个底部非常薄的圆柱形杯子，装满密度为ρ1的液体，恰好浮在密度分别为ρ1和ρ2的两种不相容液体的分界面间，下方液体密度ρ2，且ρ2＞ρ1．
已知杯子的外径为2R，内径为2r，杯子浸入下方液体的深度为h．若杯底出现一个小洞，密度为ρ2的液体将经小洞流入杯里，求当液体不再经小洞流入杯里时，圆柱形杯子浸入密度为ρ2的液体的深度．
已知杯子的外径为2R，内径为2r，杯子浸入下方液体的深度为h．若杯底出现一个小洞，密度为ρ2的液体将经小洞流入杯里，求当液体不再经小洞流入杯里时，圆柱形杯子浸入密度为ρ2的液体的深度．
分析：设杯子的质量为m，杯子的高度为L，液体不再经小洞流入杯里时，圆柱形杯子浸入密度为ρ2的液体的深度H
（1）当杯子浮在两种液体的分界面上，杯子在上面液体部分的体积为V1，杯子在下面液体部分的体积为V2，根据物体的漂浮条件得出受到的浮力（方程①）：F浮=ρ1gV1+ρ2gV2=ρ1gπR2（L-h）+ρ2gπR2h；
（2）当杯底出现一个小洞，密度为ρ2的液体将经小洞流入杯里，将上面的液体排出去，这个过程一直进行到当杯内两种液体的分界面与杯外两种液体的分界面相平，此时杯子也处于平衡状态，根据物体的漂浮条件得出受到的浮力（方程②）：mg+ρ1gπr2（L-H）+ρ2gπr2H=ρ1gπR2（L-H）+ρ2gπR2H；
两方程联立方程组解得当液体不再经小洞流入杯里时，圆柱形杯子浸入密度为ρ2的液体的深度H的大小．
（1）当杯子浮在两种液体的分界面上，杯子在上面液体部分的体积为V1，杯子在下面液体部分的体积为V2，根据物体的漂浮条件得出受到的浮力（方程①）：F浮=ρ1gV1+ρ2gV2=ρ1gπR2（L-h）+ρ2gπR2h；
（2）当杯底出现一个小洞，密度为ρ2的液体将经小洞流入杯里，将上面的液体排出去，这个过程一直进行到当杯内两种液体的分界面与杯外两种液体的分界面相平，此时杯子也处于平衡状态，根据物体的漂浮条件得出受到的浮力（方程②）：mg+ρ1gπr2（L-H）+ρ2gπr2H=ρ1gπR2（L-H）+ρ2gπR2H；
两方程联立方程组解得当液体不再经小洞流入杯里时，圆柱形杯子浸入密度为ρ2的液体的深度H的大小．
解答：解：设杯子的质量为m，杯子的高度为L，杯内液体的质量为m1，浮力为F浮，则mg+m1g=F浮；
杯子浮在两种液体的分界面上，杯子在上面液体部分的体积（含杯壁）为V1，杯子在下面液体部分的体积（含杯壁）为V2，那么杯子受到的浮力：F浮=ρ1gV1+ρ2gV2=ρ1gπR2（L-h）+ρ2gπR2h，根据平衡条件可得：
mg+ρ1gπr2L=ρ1gπR2（L-h）+ρ2gπR2h；--------------①
当杯底出现一个小洞，密度为ρ2的液体将经小洞流入杯里，将上面的液体排出去，这个过程一直进行到当杯内两种液体的分界面与杯外两种液体的分界面相平，此时杯子也处于平衡状态，所以可以列出与上面类似的等式：
mg+ρ1gπr2（L-H）+ρ2gπr2H=ρ1gπR2（L-H）+ρ2gπR2H；------------②
①-②得：
ρ1gπr2L-ρ1gπr2（L-H）-ρ2gπr2H=ρ1gπR2（L-h）+ρ2gπR2h-ρ1gπR2（L-H）-ρ2gπR2H，
ρ1gπr2L-ρ1gπr2L+ρ1gπr2H-ρ2gπr2H=ρ1gπR2L-ρ1gπR2h+ρ2gπR2h-ρ1gπR2L+ρ1gπR2H-ρ2gπR2H，
ρ1gπr2H-ρ2gπr2H=ρ2gπR2h-ρ1gπR2h+ρ1gπR2H-ρ2gπR2H，
ρ1r2H-ρ2r2H=ρ2R2h-ρ1R2h+ρ1R2H-ρ2R2H，
ρ1r2H-ρ2r2H-ρ1R2H+ρ2R2H=ρ2R2h-ρ1R2h，
解得：H=
h．
答：当液体不再经小洞流入杯里时，圆柱形杯子浸入密度为ρ2的液体的深度为
h．
杯子浮在两种液体的分界面上，杯子在上面液体部分的体积（含杯壁）为V1，杯子在下面液体部分的体积（含杯壁）为V2，那么杯子受到的浮力：F浮=ρ1gV1+ρ2gV2=ρ1gπR2（L-h）+ρ2gπR2h，根据平衡条件可得：
mg+ρ1gπr2L=ρ1gπR2（L-h）+ρ2gπR2h；--------------①
当杯底出现一个小洞，密度为ρ2的液体将经小洞流入杯里，将上面的液体排出去，这个过程一直进行到当杯内两种液体的分界面与杯外两种液体的分界面相平，此时杯子也处于平衡状态，所以可以列出与上面类似的等式：
mg+ρ1gπr2（L-H）+ρ2gπr2H=ρ1gπR2（L-H）+ρ2gπR2H；------------②
①-②得：
ρ1gπr2L-ρ1gπr2（L-H）-ρ2gπr2H=ρ1gπR2（L-h）+ρ2gπR2h-ρ1gπR2（L-H）-ρ2gπR2H，
ρ1gπr2L-ρ1gπr2L+ρ1gπr2H-ρ2gπr2H=ρ1gπR2L-ρ1gπR2h+ρ2gπR2h-ρ1gπR2L+ρ1gπR2H-ρ2gπR2H，
ρ1gπr2H-ρ2gπr2H=ρ2gπR2h-ρ1gπR2h+ρ1gπR2H-ρ2gπR2H，
ρ1r2H-ρ2r2H=ρ2R2h-ρ1R2h+ρ1R2H-ρ2R2H，
ρ1r2H-ρ2r2H-ρ1R2H+ρ2R2H=ρ2R2h-ρ1R2h，
解得：H=
| R2 |
| R2-r2 |
答：当液体不再经小洞流入杯里时，圆柱形杯子浸入密度为ρ2的液体的深度为
| R2 |
| R2-r2 |
点评：本题考查了学生对阿基米德原理和物体浮沉条件的掌握和运用，本题关键：知道当杯底出现一个小洞，密度为ρ2的液体将经小洞流入杯里，将上面的液体排出去，一直进行到当杯内两种液体的分界面与杯外两种液体的分界面相平．
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