题目内容

如图所示，体积相等、密度分别为的ρ_A、ρ_B的A、B两个立方体正对叠放在水平桌面上，且ρ_A：ρ_B=1：3．A对B的压强为p_A，B对桌面的压强为p_B．
①如果A的体积为1.0×10^-3米³，密度为3×10³千克/米³，求A的质量、A对B的压强．
②如果逐渐减小A的体积，但始终保持A的形状为立方体且密度不变，在A的体积逐渐减小的过程中，列出p_A与p_B的比值的表达式，并指出比值的变化规律．

解：（1）物体A的质量：
m=ρV=3×10³kg/m³×1×10^-3m³=3kg；
物体A的边长：
h= $\text{[math]}$ =0.1m
对地面的压力：
F_A=G_A，
A对B的压强：
p_A= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =ρ_Agh_A=3×10³kg/m³×9.8N/kg×0.1m=2940Pa；
（2）B对桌面的压强：
p_B= $\text{[math]}$ =ρ_Bgh_B+ρ_Ag $\text{[math]}$
所以出p_A：p_B= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
若取x= $\text{[math]}$ 则上式可以表示为 $\text{[math]}$ ，且0≤x≤1
设0≤x₂＜x₁≤1，
则y= $\text{[math]}$ +x₁²-（ $\text{[math]}$ +x₂²）=（x₂-x₁）（ $\text{[math]}$ -x₂-x₁）＜0
所以y是减函数， $\text{[math]}$ 是增函数；
即在A的体积逐渐减小的过程中，p_A：p_B的数值在减小．
答：（1）A的质量为3kg；A对B的压强为2940Pa；
（2）p_A与p_B的比值的表达式为 $\text{[math]}$ ，在A的体积逐渐减小的过程中，p_A：p_B的数值在减小．
分析：（1）根据m=ρV求出物体A的质量；根据体积，求出物体的边长，因放在水平面上物体的压力和本身的重力相等，求出A对B的压力，最后根据压强公式求出A对B的压强．
（2）固体能大小不变的传递压力，所以B对地面的压力等于A、B物体的重力，根据压强公式表示出p_A与p_B的比值；利用极端假设法可知，当A的体积和B物体的体积相等时，比值最大；当A的体积为0时，比值最小，从而得出结论．
点评：本题考查了压强大小的计算和密度公式的应用，关键是物体可以大小不变的传递压力和水平面上物体的压力和物重相等，难点是利用极端假设法判断两者的压强之比．