题目内容
【题目】如图所示,薄壁轻质圆柱形容器甲和均匀实心圆柱体乙置于水平桌面上。甲容器高为3h,底面积为2S,内盛有深为2h的水;圆柱体乙高为4h,底面积为3S。
①若甲容器中水的体积为4×10﹣3米3,求水的质量m水;
②若h等于0.1米,求水对容器底部的压强P水;
③现沿竖直方向在圆柱体乙上切去底面积为S的部分,并将切去部分竖直置于容器甲的水中后,自然静止沉在容器底部,此时甲容器对水平桌面的压强P容′与切去后的乙对水平桌面的压强P乙′之比为5:8,求圆柱体乙的密度ρ乙。
【答案】①4kg;②1960Pa;③3.0×103kg/m3。
【解析】①由ρ=m/V知道,甲容器中水的质量是:m水=ρ水V水=1.0×103 kg/m3 ×4×10-3 m3 =4kg;
②当h=0.1m时,甲容器中水的深度是:h水 =2h=2×0.1m=0.2m,
水对容器底部的压强是:p水=ρ水gh水=1.0×103 kg/m3 ×9.8N/kg×0.2m=1960Pa;
③根据题意知道,乙圆柱体的质量是:m乙=ρ乙V乙=ρ乙S乙h乙=ρ乙×3S×4h=12Shρ乙 ,沿竖直方向在圆柱体乙上切去底面积为S的部分后,截取部分的质量是:m截取=1/3m乙 =1/3×12Shρ乙=4Shρ乙,乙剩余部分的质量是:m剩乙=2/3m乙=2/3×12Shρ乙=8Shρ乙,
因为水平面上物体的压力和自身的重力相等,所以,乙对水平桌面的压强是:
p乙′=F乙剩/S乙剩=G乙剩/S乙剩=G乙剩g/S乙剩=8Shρ乙g/2S=4ρ乙gh,
甲容器的容积是:V甲=S甲h甲=2S×3h=6Sh,
甲容器中水的体积是:V水甲=S甲h水′=2S×2h=4Sh,
将切去部分竖直置于容器甲的水中后,若容器甲恰好不溢水,则需要水的体积是:V水′=V甲 -V切浸=V甲-Sh甲=6Sh-S×3h=3Sh,
因为V水甲>V水′,所以水有溢出,则甲容器内剩余水的体积是:V剩水=(S甲-S)h甲 =(2S-S)3h=3Sh,
故剩余水的质量是:m剩水=ρ水V剩=ρ水×3Sh=3Shρ水 ,
因为水平面上物体的压力和自身的重力相等,且甲容器的重力忽略不计,
所以,甲对水平桌面的压强是:p容′=F容/S甲=G剩水+G截取/S甲=m剩水g+m截取g/S甲=3Shρ水g+4Shρ乙g/2S=1.5ρ水 gh+2ρ乙gh,
由p容′:p乙′=5:8知道,p容′/p乙′=1.5ρ水gh+2ρ乙gh/4ρ乙gh=5/8,整理得:ρ乙 =3ρ水 g=3×1.0×103 kg/m3 =3.0×103 kg/m3。