Question

小明同学将弹簧测力计下悬挂一均匀实心金属圆柱体，再将圆柱体浸在液体中，分别研究弹簧测力计示数与液体密度、物体在液体中深度的关系．实验时，他把圆柱体浸没在不同液体中，分别记下了弹簧测力计的示数，测得实验数据如表1．然后把圆柱体浸在同种液体中，通过改变液面到圆柱体底部的距离，记下弹簧测力计的示数，测得实验数据如表2．
表1：

液体ρ（103体千克/米3）	1.2	1.8	2.0	2.2	2.4	2.5
弹簧测力计示数F（牛）	7.5	4.5		2.5	1.5	1.0

表2：

液面到金属块底部距离h（米）	0	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7
弹簧测力计示数F（牛）		11.1	9.9	8.7	7.5	7.5

根据实验数据，回答下列问题．
（1）根据表1、表2中的实验数据，请通过计算，分析完成表1和表2中的空格填写．
（2）在图1中，能正确反映表1中弹簧测力计示数与液体密度之间关系是图1中的

A

．
（3）这只挂有金属圆柱体的弹簧测力计可改装为一只密度计．请在图2中标出该密度计的零刻度位置．其分度值为

100kg/m³

．
（4）该金属体的底面积为多少平方米？（要求写出完整的解答过程）
（5）在研究弹簧测力计示数与液体密度关系时，不液体密度为3.0×10³×kg/m³时，测得弹簧测力计的示数为0，请说明产生此现象的原因：

圆柱体的密度小于所在液体的密度，所以圆柱体处于漂浮状态

．
（6）表2中液体的密度为：

1.2×10³kg/m³

．
（7）通过分析表2，是否能得出：反映弹簧测力计示数与金属块浸在液体中体积之间的规律？若能，可能用什么表达式来表达？若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用圆柱体的重力和测力计的示数可以表示出圆柱体浸入液体中受到的浮力；同时用阿基米德原理表示出其在同一种液体中受到的浮力，两个浮力相等，即可得到物体的重力和体积的关系式．从此入手可以求出圆柱体的重力和体积．
进而利用阿基米德原理结合第三种液体的密度圆柱体在其中受到的浮力，从而可以求出此时测力计的示数．
（2）根据阿基米德原理可以确定在排开液体体积不变的情况下，物体受到的浮力与所在液体的密度的关系，进而确定图象．
（3）当圆柱体没有浸入液体中时，此时测力计的指针对应的位置为改制成的密度计的零刻度值．由此即可确定其零刻度的位置．
密度计的分度值是由测力计的分度值来决定的，即当物体受到的浮力 变化为测力计的分度值（0.5N）时，求出圆柱体所在的液体的液体密度的变化值即为分度值．
（4）利用表2中的数据，结合圆柱体的重力和体积，利用阿基米德原理求出所在液体的密度；然后利用圆柱体浸入某一深度时受到的浮力，利用阿基米德原理求出此时圆柱体排开的液体体积，再利用柱体的体积计算公式求出其横截面积．
（5）测力计的示数为零，说明此时物体受到的浮力与重力相等，即，物体处于漂浮或悬浮状态．由此即可确定物体的密度与所在液体密度的大小关系．
（6）在第四问中已解决．
（7）将测力计的示数表示出来即可．

解答：解：（1）设圆柱体的体积为V，受到的重力为G．
圆柱体在第一种液体中受到的浮力：F₁=G-7.5N，可以用阿基米德原理表示为：F₁=ρ₁gV，两者联立得：G-7.5N=ρ₁gV    ①，
圆柱体浸没在第二种液体中时，同理可得：G-4.5N=ρ₂gV    ②
将表1中的液体密度代入得：G-7.5N=1.2×10³kg/m³×10N/kg×V   ③
G-4.5N=1.8×10³kg/m³×10N/kg×V  ④
解得：G=13.5N，V=5×10^-4m³．
当物体浸没在第三种液体中时，圆柱体受到的浮力：F₃=ρ₃gV=2×10³kg/m³×10N/kg×5×10^-4m³=10N．
此时测力计的示数为：F=G-F₃=13.5N-10N=3.5N．
在表格2中，当圆柱体的下表面据液面的距离为零时，此时物体不受浮力，此时测力计的示数等于物体的重力为13.5N．
在表格2中，当圆柱体的下表面据液面的距离从0.5m开始，圆柱体浸没入液体中，所以其在为0.7m时所受的浮力与在0.5m时相同，故测力计的示数不变仍为7.5N．7．
（2）在物体排开液体的体积不变时，根据阿基米德原理可知，物体受到的浮力与所在液体的密度成正比，而浮力越大，弹簧测力计的示数F就越小，且过原点．故其图象应该选A．
（3）当圆柱体没有进入液体中时，此时测力计的指针对应的刻度是改制成的密度计的零刻度．由于圆柱体没有浸入液体中，所以其不受浮力，此时圆柱体对测力计的拉力就等于圆柱体的重力，故为13.5N，所以测力计上刻度为13.5N对应的位置为密度计的零刻度值．答案如图所示．
测力计上的最小刻度值对应着改制成的密度计的分度值．由于圆柱体浸没在液体中，所以其排开的液体的体积不变，其受到的浮力变化是由液体的密度变化引起的．由此可以确定当浮力变化值最小为0.5N（测力计的分度值）时对应的是液体密度的变化的最小值，即分度值．
即：0.5N=ρ_分gV=ρ_分×10N/kg×5×10^-4m³，
解得：ρ_分=100kg/m³．

（4）根据表2中的数据可知，当液面到金属块底部距离h为0.5米时，随着h的增大，测力计的示数为7.5N不再变化，所以此时的圆柱体已经浸没如液体中，即V_排=V．
浸没时圆柱体受到的浮力：F=G-7.5N=13.5N-7.5N=6N，再结合圆柱体的体积V=5×10^-4m³．
利用阿基米德原理可以求出液体的密度：ρ=

F

gV

=

6N

10N/kg×5×10-4m3

=1.2×10³kg/m³；
当圆柱体第一次浸入液体中，液面到金属块底部距离h=0.2米时，受到的浮力为：F′=G-11.1N=13.5N-11.1N=2.4N．
此时物体排开液体体积为：V′=

F′

ρg

=

2.4N

1.2×103kg/m3×10N/kg

=2×10^-4m³，
结合圆柱体浸入液体中的深度h=0.2m，由此可以求得圆柱体的横截面积：S=

V′

h

=

2× 10-4m3

0.2m

=1×10^-3m²．
（5）根据圆柱体的重力和体积可以求得圆柱体的密度：ρ=

G

gv

=

13.5N

10N/kg×5×10-4m3

=2.7×10³kg/m³；
当液体密度为3.0×10³×kg/m³时，此时圆柱体的密度小于所在液体的密度，所以圆柱体处于漂浮状态，故测力计的示数为零．
（6）在第四问中求得液体密度为：1.2×10³kg/m³；
（7）根据阿基米德原理可以得到物体受到的浮力与物体浸入液体中体积的关系：F_浮=ρgV_排，
测力计的示数F_拉=G-F_浮=G-ρgV_排=13.5N-1.2×10³kg/m³×10N/kg×V_排（V_排＜5×10^-4m³）
故答案为：（1）3.5；13.5；7.5；（2）A；（3）图见上图；100kg/m³；（4）1×10^-3m²．（5）圆柱体的密度小于所在液体的密度，所以圆柱体处于漂浮状态；（6）1.2×10³kg/m³；
（7）F_拉=13.5N-1.2×10³kg/m³×10N/kg×V_排（V_排＜5×10^-4m³）

点评：此题的综合性非常强，主要针对浮力的计算进行了考查．其中对于阿基米德原理进行了反复考查．
将表格中的数据与操作过程对应起来是此题的难点