题目内容

放在水平桌面上的甲、乙两个圆柱形容器中分别盛有密度为ρ₁、ρ₂的液体．物体A、B是两个实心正方体，密度分别为ρ_A、ρ_B，所受的重力分别为G_A、G_B，体积分别为V_A、V_B．将物体A和B以不同的方式先后放入甲、乙两容器的液体中，如图所示．在甲容器中，B叠放在A上，A有 $数学公式$ 的体积露出液面，液体对容器底的压力比未放入物体时增大了△F_甲．在乙容器中，A、B通过细绳相连，B受到容器底的支持力为F_支（B与容器底不密合），受到细绳的拉力为F_拉，液体对容器底的压力比未放入物体时增大了△F_乙．不计细绳的质量和体积，已知ρ₁：ρ₂=2：1，V_A：V_B=27：8，F_支：F_拉=1：21，下列判断中正确的是

A.
ρ_A：ρ_B=8：135，△F_甲：△F_乙=1：1
B.
ρ_A：ρ_B=8：135，△F_甲：F_支=35：1
C.
ρ_A：ρ₁=1：9，F_拉：G_A=2：7
D.
ρ_B：ρ₂=15：4，F_拉：G_B=7：10

D
分析：（1）整体分析甲，由题知，物体漂浮，有 $\text{[math]}$ 的体积露出水面，利用阿基米德原理求受到的浮力，据此得出△F_甲，
（2）整体分析乙，因为在乙容器中，A、B通过细绳相连，所以物体A、B的重力等于其在液体中受到的浮力加上B受到容器底的支持力为F_支，
（3）隔离法分析乙，A物体的重力加上细绳的拉力等于它在此液体中受到的浮力；B物体的重力等于细绳的拉力加上它在此液体中受到的浮力，再加上B受到容器底的支持力；根据以上分析，列出算式，将已知条件代入及可求得结论．
解答：（1）由题知，物体漂浮，有 $\text{[math]}$ 的体积露出水面，此时浮力等于二者重力，
则F_浮=G_A+G_B=ρ₁g $\text{[math]}$ V_A，液体对容器底的压力比未放入物体时增大了△F_甲=F_浮=ρ₁g $\text{[math]}$ V_A…①
（2）在乙容器中，A、B通过细绳相连，物体A、B的重力等于其在液体中受到的浮力加上B受到容器底的支持力为F_支，
即G_A+G_B=ρ₂g（V_A+V_B）+F_支，液体对容器底的压力比未放入物体时增大了△F_乙=ρ₂g（V_A+V_B）+F_支…②
（3）单独对乙容器中的A物体进行受力分析，A物体受到的浮力等于A物体的重力加上细绳的拉力，
即G_A+F_拉=ρ₂gV_A…③，
B物体的重力等于细绳的拉力加上它在此液体中受到的浮力，再加上B受到容器底的支持力
即G_B=F_拉+ρ₂gV_B+F_支…④，
（4）设ρ₁=2，ρ₂=1；V_A=27，V_B=8；F_支=1kg．F_拉=21kg，将其代入①②③④式解得
ρ_A= $\text{[math]}$ ，ρ_B= $\text{[math]}$ ，△F_甲=36kg，△F_乙=35kg，
则A、 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =8：135； $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =36：35；故A错误；
B、ρ_A：ρ_B=8：135， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =36：1，故B错误；
C、 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1：9， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =7：2，故C错误；
D、 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =15：4， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =7：10．故D正确．
故选D．
点评：本题为力学综合题，考查了学生对重力公式、密度公式、压强公式、阿基米德原理、物体的漂浮条件的掌握和运用，本题为选择题，实质是一道复杂的计算题，要通过计算确定各个量的具体关系再进行判断，总之，是一道难题．