Question

【题目】如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA＝∠B，连接AD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD⊥CD，AB＝10，AD＝8，求AC的长；

（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AC的长为4；（3）AC＝BC+EC，理由见解析

【解析】

(1)连接OC,由直径所对圆周角是直角可得∠ACB=90°,由OC=OB得出∠OCB=∠B,由因为∠DCA=∠B,从而可得∠DCA=∠OCB,即可得出∠DCO=90°;

(2) 由题意证明△ACD∽△ABC,根据对应边成比例列出等式求出AC即可;

(3) 在AC上截取AF使AF＝BC，连接EF、BE，通过条件证明△AEF≌△BEC,根据性质推出△EFC为等腰直角三角形,即可证明AC、EC、BC的数量关系．

(1)证明：连接OC，如图1所示：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵OC＝OB，

∴∠B＝∠OCB，

∵∠DCA＝∠B，

∴∠DCA＝∠OCB，

∴∠DCO＝∠DCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝90°，

∴CD⊥OC，

∴CD是⊙O的切线；

(2)解：∵AD⊥CD

∴∠ADC＝∠ACB＝90°

又∵∠DCA＝∠B

∴△ACD∽△ABC

∴，即，

∴AC＝4，

即AC的长为4；

(3)解：AC＝BC+EC；理由如下：

在AC上截取AF使AF＝BC，连接EF、BE，如图2所示：

∵AB是直径，

∴∠ACB＝∠AEB＝90°，

∵∠DAB＝45°，

∴△AEB为等腰直角三角形，

∴∠EAB＝∠EBA＝∠ECA＝45°，AE＝BE，

在△AEF和△BEC中，，

∴△AEF≌△BEC(SAS)，

∴EF＝CE，∠AFE＝∠BCE＝∠ACB+∠ECA＝90°+45°＝135°，

∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣135°＝45°，

∴∠EFC＝∠ECF＝45°，

∴△EFC为等腰直角三角形．

∴CF＝EC，

∴AC＝AF+CF＝BC+EC．