题目内容
(2008•十堰)如图,AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G,且AB∥CD.连接OB、OC,延长CO交⊙O于点M,过点M作MN∥OB交CD于N.(1)求证:MN是⊙O的切线;
(2)当0B=6cm,OC=8cm时,求⊙O的半径及MN的长.
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【答案】分析:(1)求证:MN是⊙O的切线,就可以证明∠NMC=90°
(2)连接OF,则OF⊥BC,根据勾股定理就可以求出BC的长,然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径,根据△NMC∽△BOC就可以求出MN的长.
解答:(1)证明:∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G
∴∠OBC=
∠ABC,∠DCB=2∠DCM(1分)
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴∠OBC+∠OCB=
(∠ABC+∠DCB)=
×180°=90°
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-90°=90°(2分)
∵MN∥OB
∴∠NMC=∠BOC=90°
即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径
∴MN是⊙O的切线(4分)
(2)解:连接OF,则OF⊥BC(5分)
由(1)知,△BOC是直角三角形,
∴BC=
=
=10,
∵S△BOC=
•OB•OC=
•BC•OF
∴6×8=10×OF
∴0F=4.8cm
∴⊙O的半径为4.8cm(6分)
由(1)知,∠NCM=∠BCO,∠NMC=∠BOC=90°
∴△NMC∽△BOC(7分)
∴
,即
=
,
∴MN=9.6(cm).(8分)
点评:本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
(2)连接OF,则OF⊥BC,根据勾股定理就可以求出BC的长,然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径,根据△NMC∽△BOC就可以求出MN的长.
解答:(1)证明:∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G
∴∠OBC=
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∵AB∥CD
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴∠OBC+∠OCB=
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∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-90°=90°(2分)
∵MN∥OB
∴∠NMC=∠BOC=90°
即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径
∴MN是⊙O的切线(4分)
(2)解:连接OF,则OF⊥BC(5分)
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∴BC=
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∵S△BOC=
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∴6×8=10×OF
∴0F=4.8cm
∴⊙O的半径为4.8cm(6分)
由(1)知,∠NCM=∠BCO,∠NMC=∠BOC=90°
∴△NMC∽△BOC(7分)
∴
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∴MN=9.6(cm).(8分)
点评:本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
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