Question

如图，矩形AOCD中，D点的坐标为（，3），OC边在x轴上，点F是OC边上的动点，并且∠AFE=90°，点E在CD边上，设OF=x，CE=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当CE的值最大时求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，判定以AE为直径的圆与OC边的位置关系．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据点D的坐标求出OA、OC的长，再根据同角的余角相等求出∠OAF=∠EFC，然后利用两角对应相等，两三角形相似求出△AOF和△FCE相似，再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解；
（2）根据二次函数的最值问题求出CE最大时的x的值，从而得到点F的坐标；
（3）取AE的中点P，然后判定PE为梯形AOCE的中位线，根据梯形的中位线平行于底边可得PE⊥OC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PF=AE，然后根据直线与圆的位置关系解答．
解答：解：（1）∵D点的坐标为（2，3），
∴OA=3，OC=2，
∵∠AFE=90°，
∴∠AFO+∠EFC=90°，
又∵∠AFO+∠OAF=90°，
∴∠OAF=∠EFC，
又∵∠AOF=∠FCE=90°，
∴△AOF∽△FCE，
∴=，
即=，
整理得，y=-x²+x；

（2）∵y=-x²+x，
=-（x²-2x+6）+2，
=-（x-）²+2，
∴当x=，即OF=时，CE有最大值，为2，
此时点F的坐标为（，0）；

（3）取AE的中点P，
∵点F的坐标为（，0），
∴OF=CF=OC=，
∴PF为梯形AOCE的中位线，
∴PF⊥OC，
又∵∠AFE=90°，
∴PF=AE，
∴以AE为直径的圆与OC边相切．
点评：本题考查了圆的综合题型，主要利用了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，直线与圆的位置关系，梯形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，（3）作辅助线是解题的关键．