Question

如图，已知直线y＝－m(x－4)（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，Ｍ是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连结CN、CM．

（1）证明：∠MCN＝90°；

（2）设OM＝x，AN＝y，求y关于x的函数解析式；

（3）若OM＝1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径，

 　　∴AT、OM是⊙C的切线．

 

     又∵MN切⊙C于点P

∴∠CMN＝∠OMN，∠CNM＝∠ANM

∵OM∥AN

∴∠ANM＋∠OMN ＝180°

∴∠CMN＋∠CNM ＝∠OMN＋∠ANM

＝(∠OMN＋∠ANM )＝90°，

 ∴∠CMN＝90°　                               

（2）解：由（1）可知：∠1＋∠2 ＝ 90 °，而∠2 ＋∠3 ＝ 90 ⁰，

∴∠1 ＝∠3；∴Rt△MOC∽Rt△CAN　　∴ ＝   　　

∵直线y＝－m(x 4)交x轴于点A，交y轴于点B，

∴A（4，0）， ∴AC ＝CO ＝ 2

∵ OM＝ x，AN ＝ y， ∵ ＝    ∴y ＝   

（3）解：∵ OM ＝ 1，∴ AN ＝y ＝ 4，此时S_{四边形ANMO} ＝ 10

∵直线AB平分梯形ANMO的面积，∴ △ANF的面积为5

过点F作FG⊥AN于G，则FG?AN＝5，∴FG＝

     ∴点F的横坐标为4－ ＝            

     ∵M（0，1），N（4，4） ∴直线MN的解析式为y＝ x＋1　

     ∵F点在直线MN上，∴ F点的纵坐标为y＝   ∴ F（，）　　

     ∵点F又在直线y＝－m(x－4)上  ∴ ＝－m(－4)  ∴m＝