题目内容
【题目】已知抛物线y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),与x轴从左至右依次相交于A、B两点,与y轴相交于点C,经过点A的直线y=﹣ x+b与抛物线的另一个交点为D.
(1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式;
(2)若在第三象限内的抛物线上有点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标;
(3)在(1)的条件下,设点E是线段AD上的一点(不含端点),连接BE.一动点Q从点B出发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒 个单位的速度运动到点D后停止,问当点E的坐标是多少时,点Q在整个运动过程中所用时间最少?
【答案】
(1)
解:∵y=a(x+3)(x﹣1),
∴点A的坐标为(﹣3,0)、点B两的坐标为(1,0),
∵直线y=﹣ x+b经过点A,
∴b=﹣3 ,
∴y=﹣ x﹣3 ,
当x=2时,y=﹣5 ,
则点D的坐标为(2,﹣5 ),
∵点D在抛物线上,
∴a(2+3)(2﹣1)=﹣5 ,
解得,a=﹣ ,
则抛物线的解析式为y=﹣ (x+3)(x﹣1)=﹣ x2﹣2 x+3
(2)
解:如图1中,作PH⊥x轴于H,设点 P坐标(m,n),
当△BPA∽△ABC时,∠BAC=∠PBA,
∴tan∠BAC=tan∠PBA,即 = ,
∴ = ,即n=﹣a(m﹣1),
∴ 解得m=﹣4或1(舍弃),
当m=﹣4时,n=5a,
∵△BPA∽△ABC,
∴ = ,
∴AB2=ACPB,
∴42= ,
解得a=﹣ 或 (舍弃),
则n=5a=﹣ ,
∴点P坐标(﹣4,﹣ ).
当△PBA∽△ABC时,∠CBA=∠PBA,
∴tan∠CBA=tan∠PBA,即 = ,
∴ = ,
∴n=﹣3a(m﹣1),
∴ ,
解得m=﹣6或1(舍弃),
当m=﹣6时,n=21a,
∵△PBA∽△ABC,
∴ = ,即AB2=BCPB,
∴42= ,
解得a=﹣ 或 (不合题意舍弃),
则点P坐标(﹣6,﹣3 ),
综上所述,符合条件的点P的坐标(﹣4,﹣ )和(﹣6,﹣3 ).
(3)
解:如图2中,作DM∥x轴交抛物线于M,作DN⊥x轴于N,作EF⊥DM于F,
则tan∠DAN= = = ,
∴∠DAN=60°,
∴∠EDF=60°,
∴DE= = EF,
∴Q的运动时间t= + =BE+EF,
∴当BE和EF共线时,t最小,
则BE⊥DM,此时点E坐标(1,﹣4 )
【解析】(1)根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标,进而求出直线AD的解析式,接着求出点D的坐标,将D点坐标代入抛物线解析式确定a的值;(2)由于没有明确说明相似三角形的对应顶点,因此需要分情况讨论:①△ABC∽△BAP;②△ABC∽△PAB;(3)作DM∥x轴交抛物线于M,作DN⊥x轴于N,作EF⊥DM于F,根据正切的定义求出Q的运动时间t=BE+EF时,t最小即可.
【题目】父亲告诉小明:“距离地面越高,温度越低”,并给小明出示了下面的表格:
距离地面高度(千米)h | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
温度(℃)t | 20 | 14 | 8 | 2 | ﹣4 | ﹣10 |
根据表中,父亲还给小明出了下面几个问题,请你帮助小明回答下列问题:
(1)表中自变量是 ;因变量是 ;当地面上(即h=0时)时,温度是 ℃.
(2)如果用h表示距离地面的高度,用t表示温度,请写出满足t与h关系的式子.
(3)计算出距离地面6千米的高空温度是多少?