题目内容

如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°,∠EDF=30°将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q
(1)如图2,当
CE
EA
=1
时,EP与EQ满足怎样的数量关系?并给出证明.
(2)如图3,当
CE
EA
=2

①EP与EQ满足怎样的数量关系?,并说明理由.
②在旋转过程中,连接PQ,若AC=30cm,设EQ的长为xcm,△EPQ的面积为S(cm2),求 S关于x的函数关系,并求出x的取值范围.
分析:(1)连接BE,根据已知条件得到E是AC的中点,根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE,∠PBE=∠C,根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ,即可得到全等三角形,从而证明结论;
(2)①作EM⊥AB于点M,EN⊥BC于点N,证明△MEP∽△NEQ,发现EP:EQ=ME-NE=AE:CE,继而得出结果;
②设EQ=x,根据上述结论,可用x表示出S,确定EQ的最大值,及最小值后,可得出x的取值范围.
解答:解:(1)连接BE,如图2:
证明:∵点E是AC的中点,△ABC是等腰直角三角形,
∴BE=EC=AE,∠PBE=∠C=45°,
∵∠PEB+∠BEQ=∠QEC+∠BEQ=90°,
∴∠PEB=∠QEC,
在△BEP和△CEQ中,
∠BEP=∠CEQ
BE=CE
∠PBE=∠C

∴△BEP≌△CEQ(ASA),
∴EP=EQ.

(2)①作EM⊥AB于点M,EN⊥BC于点N,如图3:
∵∠A=∠C=45°,
∴EM=AM,EN=CN,
∵∠MEP+∠PEN=∠NEQ+∠PEN=90°,
∴∠MEP=∠NEQ,
又∵∠EMP=∠ENQ=90°,
∴△MEP∽△NEQ,
∴EP:EQ=ME:NE=ME:CN=AE:CE=1:2,
故EQ=2EP.
②设EQ=x,由①得,EP=
1
2
x,
∴S△EPQ=
1
2
EP×EQ=
1
4
x2
当EQ=EF时,EQ取得最大,此时EQ=DE×tan30°=30×
3
3
=10
3

当EQ⊥BC时,EQ取得最小,此时EQ=EC×sin45°=20×
2
2
=10
2

10
2
≤x≤10
3

综上可得:S=
1
4
x2(10
2
≤x≤10
3
).
点评:本题考查了几何变换综合题,涉及了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质,综合考察的知识点较多,对于此类综合性较强的题目,关键还是需要同学们有扎实的基本功,注意培养自己的融会贯通能力.
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