Question

（1）如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．

Answer 1

分析：（1）根据概念，不难发现：随着一个锐角的增大，它的对边在减小，邻边在增大，即可找到正余弦值的变化规律；
（2）根据正余弦值的变化规律，即可比较正余弦值的大小．

解答：解：（1）由图①，知
sin∠B₁AC₁=

B1C1

AB1

，sin∠B₂AC₂=

B2C2

AB2

，
sin∠B₃AC₃=

B3C3

AB3

．
∵AB₁=AB₂=AB₃且B₁C₁＞B₂C₂＞B₃C₃，
∴

B1C1

AB1

＞

B2C2

AB2

＞

B3C3

AB3

．
∴sin∠B₁AC₁＞sin∠B₂AC₂＞sin∠B₃AC₃．
而∠B₁AC₁＞∠B₂AC₂＞∠B₃AC₃，
而对于cos∠B₁AC₁=

AC1

AB1

，
cos∠B₂AC₂=

AC2

AB2

，
cos∠B₃AC₃=

AC3

AB3

．
∵AC₁＜AC₂＜AC₃，
∴cos∠B₁AC₁＜cos∠B₂AC₂＜cos∠B₃AC₃．
而∠B₁AC₁＞∠B₂AC₂＞∠B₃AC₃．
由图②知sin∠B₃AC=

B3C

AB3

，
∴sin²∠B₃AC=

B3C2

A B 2 3

．
∴1-sin²∠B₃AC=1-

B3C2

A B 2 3

=

A B 2 3 -B3C2

A B 2 3

=

AC2

A B 2 3

．
同理，sin∠B₂AC=

B2C

AB2

，1-sin²∠B₂AC=

AC2

A B 2 2

，
sin∠B₁AC=

B1C

AB2

，1-sin²∠B₁AC=

AC2

A B 2 1

．
∵AB₃＞AB₂＞AB₁，∴

AC2

A B 2 3

＜

AC2

A B 2 2

＜

AC2

A B 2 1

．
∴1-sin²∠B₃AC＜1-sin²∠B₂AC＜1-sin²∠B₁AC．
∴sin²∠B₃AC＞sin²∠B₂AC＞sin²∠B₁AC．
∵∠B₃AC，∠B₂AC，∠B₁AC均为锐角，
∴sin∠B₃AC＞sin∠B₂AC＞sin∠B₁AC．
而∠B₃AC＞∠B₂AC＞∠B₁AC．
而对于cos∠B₃AC=

AC

AB3

，
cos∠B₂AC=

AC

AB2

，
cos∠B₁AC=

AC

AB1

．
∵AB₃＞AB₂＞AB₁，∴

AC

AB3

＜

AC

AB2

＜

AC

AB1

．
∴cos∠B₃AC＜cos∠B₂AC＜cos∠B₁AC．
而∠B₃AC＞∠B₂AC＞∠B₁AC．
结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．

（2）由（1）知
sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，
cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．

点评：理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律．