题目内容
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,CA是∠BCD的平分线,且AB⊥AC,AB=4,AD=6,求AC的长.
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【解析】
试题分析:根据角平分线的定义可得∠1=∠2,根据两直线平行,内错角相等可得∠2=∠3,然后得到∠1=∠3,再根据等角对等边可得CD=AD=6,过点D作DE⊥AC于E,根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=AC,根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABC∽△EDC,再根据相似三角形对应边成比例求出BC,然后利用勾股定理列式计算即可得解.
试题解析:∵CA是∠BCD的平分线,
∴∠1=∠2,
∵AD∥BC,
∴∠2=∠3,
从而∠1=∠3,
∵AD=6,
∴CD=AD=6,
过点D作DE⊥AC于E,则AE=CE=AC,
∵∠1=∠2,∠BAC=∠DEC,
∴△ABC∽△EDC,
∴,
即,
∴BC=12,
在Rt△ABC中,由勾股定理得,AC=.
考点:1.相似三角形的判定与性质;2.角平分线的性质.
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