题目内容

如图1，有两全等的正三角形ABC，DEF，且D，A分别为△ABC，△DEF的重心．固定D点，将△DEF逆时针旋转，使得A落在 $数学公式$ 上，如图2所示．求图1与图2中，两个三角形重迭区域的面积比为何

A.
2：1
B.
3：2
C.
4：3
D.
5：4

C
分析：设三角形的边长是x，则（1）中阴影部分是一个内角是60°的菱形，图（2）是个角是30°的直角三角形，分别求得两个图形的面积，即可求解．
解答：

解：设三角形的边长是x，则高长是 $\text{[math]}$ x．
图（1）中，阴影部分是一个内角是60°的菱形，AD= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ x．
另一条对角线长是：MN=2OM=2× $\text{[math]}$ OM•tan30°=2× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ x•tan30°= $\text{[math]}$ x．
则阴影部分的面积是： $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ x• $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ x²；
图（2）中，AD=AD= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ x．
是一个角是30°的直角三角形．
则阴影部分的面积= $\text{[math]}$ AD•sin30°•AD•cos30°= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ x•× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ x• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x²．
两个三角形重迭区域的面积比为： $\text{[math]}$ x²： $\text{[math]}$ x²=4：3．
故选C．
点评：本题主要考查了三角形的重心的性质，解直角三角形，以及菱形、直角三角形面积的计算，正确计算两个图形的面积是解决本题的关键．