Question

（1）已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x₁、x₂，则x₁=

 

，x
₂=

 

；x₁+x₂=

 

；x₁x₂=

 

．
（2）应用（1）的结论解答下列问题：已知x₁、x₂是关于x的方程x²-4kx+4=0的两个实数根，且满足：x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=-8．求k、x₁、x₂的值．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案；
（2）由（1）可得x₁、x₂的值与其间的关系，x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=-8可化简为（x₁+x₂）²-2x₁x₂-6（x₁+x₂）=-8，解可得k的值，进而可得x₁、x₂的值．

解答：解：（1）根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得：x₁=

-b+ b2-4ac

2

，x₂=

-b- b2-4ac

2

，
x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．

（2）由（1）可得：x₁x₂=

c

a

=4，x₁+x₂=4k；
x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=-8可化简为（x₁+x₂）²-2x₁x₂-6（x₁+x₂）=-8，
代入可得：16k²-8-6×4k=-8；
解可得k₁=0（舍去），k₂=

3

2

，
故x₁=3+

5

，x₂=3-

5

．

点评：主要考查了根的判别式和根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．把所求的代数式变形成x₁+x₂，x₁x₂的形式再整体代入是常用的方法之一．