Question

（2012•贵阳）如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则
（1）BD的长是

2

；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连接AD，由于AC是⊙O的切线，所以AB⊥AC，再根据∠C=45°可知AB=AC=2，由勾股定理可求出BC的长，由于AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°，故D是BC的中点，故可求出BD的长度；
（2）连接OD，因为O是AB的中点，D是BC的中点，所以OD是△ABC的中位线，所以OD⊥AB，故

BD

=

AD

，所以

BD

与弦BD组成的弓形的面积等于

AD

与弦AD组成的弓形的面积，所以S_阴影=S_△ABC-S_△ABD，故可得出结理论．

解答：解：（1）连接AD，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∵∠C=45°，
∴AB=AC=2，
∴BC=

AB2+AC2

=

22+22

=2

2

，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴D是BC的中点，
∴BD=

1

2

BC=

2

；

（2）连接OD，
∵O是AB的中点，D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=1，
∴OD⊥AB，
∴

BD

=

AD

，
∴

BD

与弦BD组成的弓形的面积等于

AD

与弦AD组成的弓形的面积，
∴S_阴影=S_△ABC-S_△ABD=

1

2

AB•AC-

1

2

AB•OD=

1

2

×2×2-

1

2

×2×1=2-1=1．

点评：本题考查的是切线的性质，涉及到三角形的面积、等腰三角形的性质及三角形中位线定理、圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．