Question

【题目】如图一，∠ACB=90°，点D在AC上，DE⊥AB垂足为E，交BC的延长线于F，DE=EB，EG=EB，
（1）求证：AG=DF；
（2）过点G作GH⊥AD，垂足为H，与DE的延长线交于点M，如图二，找出图中与AB相等的线段，并证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵DE=EB，EG=EB，DE⊥AB，

∴DE=EB=EG，

∴∠EGD=∠EDG=∠EDB=∠EBD=45°，

∴∠AGD=∠FDB=135°，

∵∠ACB=90°，∠AED=90°，∠ADE=∠FDC，

∴∠A=∠F，

∴∠ADG=∠FBD，

在△ADG和△FDB中

∴△ADG≌△FDB，

∴AG=DF；

（2）解：∵DE=EB，EG=EB，

∴DE=EB=EG，∵DE⊥AB，

在△AED和△FEB中，

∴△AED≌△MEB，

∴AE=EM，

∴AE+EB=EM+DE，

即AB=DM．

【解析】（1）根据已知条件得到DE=EB=EB，∠EGD=∠EGD=∠EDB=∠EBD=45°，进而证得∠AGD=∠FDB=135°，根据三角形内角和证得∠A=∠F，由三角形外角定理证得∠ADG=∠FBD，根据三角形的判定证得△ADG≌△FDB，由全等三角形的判定即可证得结论；（2）根据已知条件得到△AED≌△FEB，由全等三角形的性质得到AE=EM，即可得到结论．