题目内容

一天中某一时刻太阳光线与水平线的夹角随着季节的变化而变化，夏至时夹角最大，冬至时夹角最小，若今年十二月二十二日（冬至）的某一时刻太阳光线与水平线的最小夹角约为30°．现湖州某小区有两幢居民住宅楼高都为15米，两楼相距20米，如图所示．
（1）在今年冬至的这一时刻，该小区甲楼的影子落在乙楼的底部（即DC）有多高？
（2）若在本小区内继续兴建同样高的住宅楼，两楼相距至少应该多少米，才不影响楼房的采光（前一幢楼房的影子不能落在后一幢楼房上）？
（注： $数学公式$ ，计算结果精确到0.1米）

解：（1）如图所示，

作DE⊥AB，垂足为E，
由题意可知∠ADE=30°，DE=BC=20，
在Rt△ADE中，tan∠ADE= $\text{[math]}$ ，
AE=DE•tan∠ADE=20•tan30°≈11.5，
则DC=EB=AB-AE=15-11.5=3.5．
即冬至时甲楼的影子在乙楼上约3.5米高．

（2）若要不影响要房间的采光，如图所示在Rt△ABC中，AB=15，∠C=30°，
BC= $\text{[math]}$ ≈26.0．
答：楼距至少26.0米，才不影响楼房的采光．
分析：（1）如图，构造直角三角形ADE，则∠ADE=30°，DE=BC=20，在这个三角形中已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AE的长从而求得CD的长．
（2）在△ABC中，由角C的值和AB的高，满足解直角三角形的条件，可求出BC的长．
点评：本题是解直角三角形在生活中的实际应用，做到学数学，用数学，才是学习数学的意义．