题目内容
【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0)、C(0,4),点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO.
(1)求抛物线的解析式;
(2)线段AB上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ABM是以AB为直角边的直角三角形?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:如图1,
∵A(﹣3,0),C(0,4),
∴OA=3,OC=4.
∵∠AOC=90°,
∴AC=5.
∵BC∥AO,AB平分∠CAO,
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB.
∴BC=AC.
∴BC=5.
∵BC∥AO,BC=5,OC=4,
∴点B的坐标为(5,4).
∵A(﹣3,0)、C(0,4)、B(5,4)在抛物线y=ax2+bx+c上,
∴
解得:
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+
x+4
(2)解:如图2,
设直线AB的解析式为y=mx+n,
∵A(﹣3,0)、B(5,4)在直线AB上,
∴
解得:
∴直线AB的解析式为y= x+
.
设点P的横坐标为t(﹣3≤t≤5),则点Q的横坐标也为t.
∴yP= t+
,yQ=﹣
t2+
t+4.
∴PQ=yQ﹣yP=﹣ t2+
t+4﹣(
t+
)
=﹣ t2+
t+4﹣
t﹣
=﹣ t2+
+
=﹣ (t2﹣2t﹣15)
=﹣ [(t﹣1)2﹣16]
=﹣ (t﹣1)2+
.
∵﹣ <0,﹣3≤t≤5,
∴当t=1时,PQ取到最大值,最大值为 .
∴线段PQ的最大值为 .
(3)解:①当∠BAM=90°时,如图3所示.
抛物线的对称轴为x=﹣ =﹣
=
.
∴xH=xG=xM= .
∴yG= ×
+
=
.
∴GH= .
∵∠GHA=∠GAM=90°,
∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM.
∵∠AHG=∠MHA=90°,∠MAH=∠AGM,
∴△AHG∽△MHA.
∴ .
∴ =
.
解得:MH=11.
∴点M的坐标为( ,﹣11).
②当∠ABM=90°时,如图4所示.
∵∠BDG=90°,BD=5﹣ =
,DG=4﹣
=
,
∴BG=
=
= .
同理:AG= .
∵∠AGH=∠MGB,∠AHG=∠MBG=90°,
∴△AGH∽△MGB.
∴ .
∴ =
.
解得:MG= .
∴MH=MG+GH
= +
=9.
∴点M的坐标为( ,9).
综上所述:符合要求的点M的坐标为( ,9)和(
,﹣11).
【解析】(1)如图1,易证BC=AC,从而得到点B的坐标,然后运用待定系数法求出二次函数的解析式.(2)如图2,运用待定系数法求出直线AB的解析式.设点P的横坐标为t,从而可以用t的代数式表示出PQ的长,然后利用二次函数的最值性质就可解决问题.(3)由于AB为直角边,分别以∠BAM=90°(如图3)和∠ABM=90°(如图4)进行讨论,通过三角形相似建立等量关系,就可以求出点M的坐标.
【考点精析】认真审题,首先需要了解确定一次函数的表达式(确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k不等于0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法),还要掌握二次函数的最值(如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a)的相关知识才是答题的关键.
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