题目内容

如图，线段AB的两个端点都在函数y= $数学公式$ （x＞0）的图象上，AC、BD分别垂直OX于点C、D．且CD=2，设线段CD的中点M的坐标为M（a，0）．
（1）用a表示C、D的坐标；
（2）当梯形ACDB的面积为 $数学公式$ 时，求a的值；
（3）如果线段CD上存在点P，使得∠APB=90°，求a的取值范围．

解：（1）∵CD=2，M是CD的中点，∴CM=MD=1，∴OC=a-1，OD=a+1，C（a-1，0），D（a+1，0）；

（2）当x=a-1时，y= $\text{[math]}$ ，∴A（a-1， $\text{[math]}$ ），
当x=a+1时，y= $\text{[math]}$ ，∴B（a+1， $\text{[math]}$ ），
S_梯形ACDB= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）×2= $\text{[math]}$ ，
解得a₁=2，a₂=- $\text{[math]}$ （不合题意，舍去），
∴a=2；

（3）AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，中位线= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），
当 $\text{[math]}$ AB=中位线时，有（ $\text{[math]}$ ）²+4=（ $\text{[math]}$ ）²，解得a=±2，根据题意a=2，
当 $\text{[math]}$ AB＞中位线时，a＞2，
∴a的取值范围是a≥2．
分析：（1）结合图形易知C（a-1，0），D（a+1，0）；
（2）用a表示A、B纵坐标，即是梯形两个底，根据面积公式得方程求解；
（3）当以AB为直径的圆与X轴有交点时就是存在P满足条件，所以当 $\text{[math]}$ AB≥梯形中位线长时满足条件．用含a的代数式分别表示上述线段，解不等式求解．
点评：此题将函数与圆的知识综合起来，难度较大．需同时考虑到直径所对的圆周角是直角及直线与圆的位置关系等知识．