Question

已知二次三项式ax²+bx+c（a＞0）
（1）当c＜0时，求函数y=-2|ax²+bx+c|-1的最大值；
（2）若无论k为何实数，直线y=k(x-1)-

k2

4

与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，求a+b+c的值．

Answer 1

分析：（1）利用二次函数图象的性质推出函数y'=ax²+bx+c的最小值小于零，再根据任何数的绝对值都为非负数解决此题；
（2）直线y=k(x-1)-

k2

4

与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，也就是说方程k（x-1）-

k2

4

=ax²+bx+c只有一个解，即△=0．

解答：解：（1）由a＞0，c＜0知y'=ax²+bx+c与x轴必有交点，
y'_min＜0，
故y=-2|ax²+bx+c|-1的最大值为-1；
（2）联立方程组

y=k(x-1)- k2 4 y=ax2+bx+c

，
∴ax²+bx+c=k（x-1）-

1

4

k²，
整理得，ax²+（b-k）x+c+k+

1

4

k²=0，
∵无论k为何实数，直线与抛物线都只有一个交点，
∴△=（b-k）²-4a（c+k+

1

4

k²）=（1-a）k²-2k（2a+b）+b²-4ac=0，
可得1-a=0，2a+b=0，b²-4ac=0，
解得a=1，b=-2，c=1，
故a+b+c=0．

点评：主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系，以及方程根的个数的判断规律．这些性质和规律要求掌握．