题目内容
【题目】对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当
，函数值y满足
，且满足
，则称此函数为“k属和合函数”
例如：正比例函数
，当
时，
，则
，求得：
，所以函数为“3属和合函数”.
（1）①一次函数
为“k属和合函数”，则k的值为______，
②若一次函数
为“1属和合函数”，求a的值；
（2）反比例函数
（
，且
）是“k属和合函数”，且
，请求出
的值；
（3）已知二次函数
，当
时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围.
【答案】（1）①2；②
；（2）2018；（3）若a＞1时，
；若0＜a≤1时，
；若﹣1＜a≤0时，
；若a＜﹣1时，.
【解析】
（1）①根据“k属和合函数”的定义即可求出k的值；
②根据a的取值范围分类讨论，然后再根据“1属和合函数”的定义分别求a的值即可；
（2）根据反比例函数的增减性，求出y的取值范围，然后根据“k属和合函数”的定义即可求出ab的值，然后利用完全平方公式的变形即可求出
的值；
（3）根据对称轴与x的取值范围的相对位置分类讨论：（i）若a＞1时，即
在对称轴左侧，根据二次函数的增减性求出y的取值范围，然后根据“k属和合函数”的定义即可求出k与a的关系，根据a的取值求出k的取值即可；（ii）若0＜a≤1时，即含对称轴，且x=﹣1离对称轴最远，原理同上；（iii）若﹣1＜a≤0时，即含对称轴，且x=1离对称轴最远，原理同上；（iiii）若a＜﹣1时，即在对称轴右侧，原理同上.
解：（1）①∵一次函数
当
时
，
根据“k属和合函数”的定义：
，
解得：k=2；
②当a＞0时，
∵
当时，
，
根据“1属和合函数”的定义：
，
解得：
；
当a＜0时，
∵当时，
，
根据“1属和合函数”的定义：
，
解得：
，
综上所述：；
（2）∵
（
，
且
），
∴当时，y随x的增大而减小，
∴
，
根据“k属和合函数”的定义：
，
解得：
，
∵
，
∴
；
（3）二次函数
的对称轴为：
，
（i）若a＞1时，即在对称轴左侧，如下图所示：
不难发现，当x=1时，y最大值为：
，
当x=﹣1时，y最小值为：
，
根据“k属和合函数”的定义：
，
解得：
，
∵a＞1，
∴；
（ii）若0＜a≤1时，即含对称轴，且x=﹣1离对称轴最远，如下图所示：
不难发现：当x=a时，y最大值为：
，
当x=﹣1时，y最小值为：，
根据“k属和合函数”的定义：
，
解得：
，此函数的对称轴为：a=﹣1，开口向上，
∴0＜a≤1在对称轴的右侧，k随a的增大而增大，
∴当0＜a≤1时，解得：；
（iii）若﹣1＜a≤0时，即含对称轴，且x=1离对称轴最远，如下图所示：
不难发现：当x=a时，y最大值为：，
当x=1时，y最小值为：，
根据“k属和合函数”的定义：
解得：
，此函数的对称轴为：a=1，开口向上，
∴﹣1＜a≤0在对称轴的左侧，k随a的增大而减小
∴当﹣1＜a≤0时，解得：；
（iiii）若a＜﹣1时，即在对称轴右侧，如下图所示：
不难发现，当x=1时，y最小值为：，
当x=﹣1时，y最大值为：，
根据“k属和合函数”的定义：
解得：
∵a＜﹣1，
∴；
综上所述：若a＞1时，；若0＜a≤1时，；若﹣1＜a≤0时，；若a＜﹣1时，.
