Question

如图，要设计一个矩形的花坛，花坛长60m，宽40m，有两条纵向甬道和一条横向甬道，横向甬道的两侧有两个半圆环形甬道，半圆环形甬道的内半圆的半径为10m，横向甬道的宽度是其它各甬道宽度的2倍．设横向甬道的宽为2x m．（π的值取3）
（1）用含x的式子表示两个半圆环形甬道的面积之和；
（2）当所有甬道的面积之和比矩形面积的多36m²时，求x的值；
（3）根据设计的要求，x的值不能超过3m．如果修建甬道的总费用（万元）与x（m）成正比例关系，比例系数是7.59，花坛其余部分的绿化费用为0.03万元/m²，那么x为何值时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？

Answer 1

【答案】分析：（1）由于半圆环形甬道的内半圆的半径为10m，横向甬道的宽度是其它各甬道宽度的2倍，而横向甬道的宽为2x，由此得到半圆环形甬道的外半圆的半径为（10+x）m，然后利用圆的面积公式即可求出两个半圆环形甬道的面积之和；
（2）首先用x表示所有甬道的面积之和为40×x×2+60×2x-2x²×2+3x²+60x，然后根据已知条件的关于x的方程，解方程即可求解；
（3）由于修建甬道的总费用（万元）与x（m）成正比例关系，比例系数是7.59，因此得到修建甬道的总费用为7.59x，而花坛其余部分的绿化费用为0.03万元/m²，花坛其余部分的面积为[60×40-（-x²+260x）]，因此即可求出所建花坛的总费用y与x的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求出所建花坛的最少费用．
解答：解：（1）两个半圆环形甬道的面积=π（10+x）²-π×10²=3x²+60x（m²）；

（2）依题意，得40×x×2+60×2x-2x²×2+3x²+60x=×60×40+36，
整理，得x²-260x+516=0，
解得x₁=2，x₂=258（不符合题意，舍去）．
∴x=2；

（3）设建设花坛的总费用为y万元，则
y=0.03×[60×40-（-x²+260x）]+7.59x
=0.03x²-0.21x+72．
∴当x=-==3.5时，y的值最小．
因为根据设计的要求，x的值不能超过3，
∴当x=3时，总费用最少．
最少费用为y=0.03×3²-0.21×3+72=71.64（万元）．
点评：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大（小）值的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．