Question

（2012•黄浦区二模）已知一次函数y=x+1的图象和二次函数y=x²+bx+c的图象都经过A、B两点，且点A在y轴上，B点的纵坐标为5．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将此二次函数图象的顶点记作点P，求△ABP的面积；
（3）已知点C、D在射线AB上，且D点的横坐标比C点的横坐标大2，点E、F在这个二次函数图象上，且CE、DF与y轴平行，当CF∥ED时，求C点坐标．

Answer 1

分析：（1）利用一次函数结合A、B两点的特点，求出A、B两点的坐标，然后将A、B的坐标代入y=x²+bx+c，即可组成方程组求出b、c的值，从而得到二次函数的解析式；
（2）画出二次函数图象，画出一次函数AB的图象，将△APB转化为△APG和△PGB两个三角形的面积的和来解答；
（3）设C点横坐标为a，据题意此推知C点坐标为（a，a+1），D点坐标为（a+2，a+3），E点坐标为（a，a²-3a+1），F点坐标为（a+2，a²+a-1），得到 CE=-a²+4a，DF=a²-4，根据CE∥DF，CF∥ED，得出四边形CEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，求出-a²+4a=a²-4，或-a²+4a=-a²+4求出a的值，从而得到C点坐标．

解答：解：（1）如图1，A点坐标为（0，1），
将y=5代入y=x+1，得x=4，
∴B点坐标为（4，5），
将A、B两点坐标代入y=x²+bx+c，
解得

b=-3 c=1

，
∴二次函数解析式为y=x²-3x+1．
（2）y=x²-3x+（

3

2

）²-（

3

2

）²+1=（x-

3

2

）²-

5

4

，
P点坐标为（

3

2

，-

5

4

），
抛物线对称轴与直线AB的交点记作点G，则点G（

3

2

，

5

2

），
∴PG=|

5

2

-(-

5

4

)|=

15

4

，
∴S△ABP=S△APG+S△BPG=

15

2

．
（3）如图2，设C点横坐标为a，
则C点坐标为（a，a+1），D点坐标为（a+2，a+3），
E点坐标为（a，a²-3a+1），F点坐标为（a+2，a²+a-1），
由题意，得 CE=-a²+4a，DF=a²-4，
∵且CE、DF与y轴平行，
∴CE∥DF，
又∵CF∥ED，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴CE=DF，
∴-a²+4a=a²-4，
解得，a1=1+

3

，
a2=1-

3

（舍），
∴C点坐标为（1+

3

，2+

3

）．
当 CE=-a²+4a，DF=-a²+4，
∵且CE、DF与y轴平行，
∴CE∥DF，
又∵CF∥ED，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴CE=DF，
∴-a²+4a=-a²+4，
解得：a=1，
故C点坐标为：（1，2）当C点坐标为（1，2）时CF不∥ED，舍去．
综上所述：C点坐标为（1+

3

，2+

3

）．

点评：本题考查了一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积与坐标的关系、平行四边形的判定等内容，以二次函数为依托，将所有知识有机的结合在一起，考查了学生的综合思维能力．